Multiple Integrals

Integral Calculus का यह भाग उस स्थिति से जुड़ा है जहाँ एक ही variable के बजाय दो या तीन variables के साथ integration किया जाता है। जब किसी quantity का dependence केवल $x$ पर न होकर $x$ और $y$, या $x$, $y$, $z$ तीनों पर हो, तब ordinary integration पर्याप्त नहीं होता। ऐसी स्थिति में Multiple Integrals का प्रयोग किया जाता है।

यह topic आगे के advanced applications के लिए बहुत important है, क्योंकि इसी की सहायता से plane regions का area, solids का volume, mass, centroid जैसी quantities निकाली जाती हैं। इस chapter में सबसे पहले double integral का concept समझना जरूरी होता है, क्योंकि यही multiple integration की foundation बनाता है।

Double Integral का अर्थ

जब किसी function $f(x,y)$ को किसी region $R$ पर integrate किया जाता है, तो उसे double integral कहते हैं। इसे सामान्य रूप में इस प्रकार लिखा जाता है:$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

यहाँ $dA$ किसी छोटे area element को represent करता है।
यदि rectangular region हो, तो $dA$ को सामान्यतः $dx\,dy$ या $dy\,dx$ के रूप में लिखा जाता है।

इसका अर्थ यह है कि पूरे region को बहुत छोटे-छोटे rectangles में बाँट दिया जाए, प्रत्येक छोटे part पर function की value ली जाए, और फिर उन सभी contributions का total लिया जाए।

Double Integral का geometrical meaning

Double Integral का geometrical meaning भी समझना बहुत आवश्यक है।
यदि $z=f(x,y)$ कोई surface हो और $R$ xy-plane में कोई region हो, तो$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

उस surface के नीचे और region $R$ के ऊपर enclosed volume को represent कर सकता है, बशर्ते $f(x,y)$ positive हो।

इस प्रकार single integral जहाँ curve के नीचे area या accumulation देता है, वहीं double integral surface के नीचे volume या region पर distributed quantity का total देता है।

Rectangular region पर double integral

यदि region rectangular हो, जैसे$$0 \le x \le 2,\quad 1 \le y \le 3$$

तो double integral को iterated integral के रूप में लिखा जा सकता है:$$\int_0^2 \int_1^3 f(x,y)\,dy\,dx$$

या फिर order बदलने पर$$\int_1^3 \int_0^2 f(x,y)\,dx\,dy$$

दोनों forms का अर्थ एक ही है, यदि limits सही दी गई हों।

यहाँ inner integral पहले evaluate होता है, फिर outer integral।

इस rectangular region को graph में देखना useful रहता है, क्योंकि इससे limits तुरंत clear हो जाती हैं।

Example: Rectangular region पर double integral

मान लीजिए हमें evaluate करना है:$$\int_0^2 \int_1^3 (x+y)\,dy\,dx$$

सबसे पहले inner integral करेंगे:$$\int_1^3 (x+y)\,dy$$

यहाँ $x$ constant माना जाएगा, इसलिए$$\int_1^3 (x+y)\,dy = \left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_1^3$$$$= \left(3x+\frac{9}{2}\right)-\left(x+\frac{1}{2}\right)$$$$= 2x+4$$

अब outer integral करेंगे:$$\int_0^2 (2x+4)\,dx = \left[x^2+4x\right]_0^2 = 4+8 = 12$$

अतः required value है$$\boxed{12}$$

यह example यह स्पष्ट करता है कि double integral वास्तव में repeated integration ही है।

Area as a double integral

यदि integrand $1$ हो, तो double integral region का total area देता है।
अर्थात,$$\iint_R 1\,dA$$

region $R$ का area होता है।

यह result बहुत important है, क्योंकि इससे यह समझ आता है कि double integral केवल complicated expression के लिए नहीं, बल्कि area determination के लिए भी उपयोगी है।

Example: Rectangle का area double integral से

मान लीजिए region $R$ rectangular है:$$0 \le x \le 2,\quad 0 \le y \le 3$$

तब area होगा$$\iint_R 1\,dA = \int_0^2 \int_0^3 1\,dy\,dx$$

पहले inner integral करें:$$\int_0^3 1\,dy = 3$$

अब outer integral:$$\int_0^2 3\,dx = 6$$

अतः area है$$\boxed{6}$$

इस region का graph area concept को visually clear करता है।

Graph: Area of a rectangular region

Non-rectangular region का concept

हर बार region rectangular नहीं होता। कई questions में region किसी line, curve, या parabola से bounded होता है। ऐसी स्थिति में limits constant नहीं रहतीं। तब एक variable की limit दूसरे variable पर depend करती है।

उदाहरण के लिए, यदि region इस प्रकार हो:$$0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x$$

तो यह triangular region है।
इसका double integral इस प्रकार लिखा जाएगा:$$\int_0^1 \int_0^x f(x,y)\,dy\,dx$$

यहाँ $y$ की upper limit constant नहीं है, बल्कि $x$ पर depend कर रही है।
यही non-rectangular region की सबसे महत्वपूर्ण पहचान है।

इस triangular region को graph में देखना बहुत जरूरी है, क्योंकि बिना graph के limits confuse कर सकती हैं।

Graph: Triangular region bounded by $y=x$

Example: Triangular region पर double integral

मान लीजिए evaluate करना है:$$\int_0^1 \int_0^x (x+y)\,dy\,dx$$

सबसे पहले inner integral करेंगे:$$\int_0^x (x+y)\,dy = \left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_0^x$$$$= x(x)+\frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2}$$

अब outer integral:$$\int_0^1 \frac{3x^2}{2}\,dx = \frac{3}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

अतः answer है$$\boxed{\frac{1}{2}}$$

यह example यह दिखाता है कि non-rectangular region में सबसे महत्वपूर्ण काम सही limits लिखना होता है।

Double Integral की order

Double integral को दो orders में लिखा जा सकता है:$$\int \int f(x,y)\,dy\,dx \quad \text{या} \quad \int \int f(x,y)\,dx\,dy$$

इसका अर्थ यह है कि कभी पहले $y$ के respect में integration होता है और कभी पहले $x$ के respect में।
कौन-सा order आसान रहेगा, यह region की shape और limits पर depend करता है।

यही idea आगे Change of Order of Integration topic की foundation बनाता है।

Triple Integral का अर्थ

जब कोई function तीन variables $x$, $y$, $z$ पर depend करता है, तब triple integral का प्रयोग किया जाता है। इसे सामान्य रूप में इस प्रकार लिखते हैं:$$\iiint_V f(x,y,z)\,dV$$

यहाँ $V$ किसी three-dimensional region को represent करता है और $dV$ उसका small volume element होता है।

यदि integrand $1$ हो, तो triple integral उस region का volume देता है।
अर्थात,$$\iiint_V 1\,dV$$

solid region का volume होता है।

Example: Triple integral द्वारा volume

मान लीजिए हमें cuboid region का volume निकालना है जहाँ$$0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 2,\quad 0 \le z \le 3$$

तब$$V=\iiint 1\,dV = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 1\,dz\,dy\,dx$$

सबसे पहले inner integral:$$\int_0^3 1\,dz = 3$$

अब$$\int_0^1 \int_0^2 3\,dy\,dx$$

फिर $y$ के respect में:$$\int_0^2 3\,dy = 6$$

अब $x$ के respect में:$$\int_0^1 6\,dx = 6$$

अतः volume है$$\boxed{6}$$​

इस cuboid region को graph में देखना triple integral के concept को बहुत clear कर देता है।

Graph: Cuboid region in xyz-space

Multiple Integrals के applications

Multiple integrals का use कई important applications में होता है।
इनका प्रयोग केवल evaluation तक सीमित नहीं है, बल्कि practical mathematics और mathematical physics में भी बहुत अधिक होता है।

इनकी मदद से सामान्यतः निम्न quantities निकाली जाती हैं:

• plane region का area
• solid region का volume
• lamina का mass
• density based quantities
• centroid और moment related expressions

इसलिए यह topic केवल calculation नहीं, बल्कि applied mathematics का भी आधार है।

Mass का concept

यदि किसी lamina की density हर point पर समान न होकर variable हो, जैसे $\rho(x,y)$ρ(x,y), तब total mass होगा:$$\iint_R \rho(x,y)\,dA$$

यह double integral का एक बहुत महत्वपूर्ण application है।

Example: Variable density के साथ mass

मान लीजिए rectangular lamina पर density है$$\rho(x,y)=x+y$$

और region है$$0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 2$$

तब mass होगा:$$M=\int_0^1 \int_0^2 (x+y)\,dy\,dx$$

पहले $y$ के respect में integrate करें:$$\int_0^2 (x+y)\,dy = \left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_0^2 = 2x+2$$

अब $x$ के respect में:$$\int_0^1 (2x+2)\,dx = \left[x^2+2x\right]_0^1 = 1+2 = 3$$

अतः total mass है$$\boxed{3}$$

यहाँ region rectangular है, इसलिए इसका visual वही rectangular plane region जैसा समझा जा सकता है।

Multiple Integrals में सबसे important बात

इस topic में सबसे common difficulty formula नहीं, बल्कि region को सही समझना होता है।
यदि region समझ में आ गया, limits सही लिख दी गईं, और order clearly set हो गया, तो question काफी हद तक आसान हो जाता है।

इसी कारण multiple integrals वाले questions में rough sketch बनाना बहुत उपयोगी माना जाता है।
Sketch से यह स्पष्ट हो जाता है कि limits constant हैं या variable, region rectangular है या triangular, और किस order में integration आसान रहेगा।

Questions solve करने की सामान्य विधि

Multiple integrals वाले question को solve करते समय पहले integrand और region दोनों को ध्यान से देखना चाहिए।
फिर यह तय करना चाहिए कि region rectangular है या non-rectangular
उसके बाद limits लिखनी चाहिए।
फिर उचित order में integration करना चाहिए।
यदि triple integral हो, तो एक-एक variable के respect में step-by-step आगे बढ़ना चाहिए।

इस topic में जल्दबाजी से अधिक गलती limits में होती है, इसलिए setup पर विशेष ध्यान देना चाहिए।

इस topic की मुख्य बात

Multiple Integrals single variable integration का natural extension है।
जहाँ single integral accumulation along a line देता है, वहीं double integral area region पर accumulation देता है, और triple integral volume region पर।
इसी कारण यह topic higher-dimensional integration को समझने की key बनता है।