Circles

Two-Dimensional Analytical Geometry में Circle एक बहुत महत्वपूर्ण topic है। इसमें हम यह समझते हैं कि coordinate plane में किसी circle को algebraic equation की सहायता से कैसे represent किया जाता है।
Geometry में circle एक familiar figure है, लेकिन analytical geometry में इसका अध्ययन equation, center, radius, tangent, chord, diameter और relative position जैसे concepts के साथ किया जाता है।

यह topic straight lines और pair of straight lines के बाद स्वाभाविक रूप से आता है, क्योंकि circle की कई properties coordinate geometry और algebra दोनों से जुड़ी होती हैं। इसी कारण इस chapter से short और long numerical questions दोनों पूछे जाते हैं।

Circle का अर्थ

Circle उन सभी points का locus है जो किसी fixed point से समान दूरी पर स्थित हों।
उस fixed point को center कहते हैं और समान दूरी को radius कहते हैं।

यदि center $(h,k)$ हो और radius $r$ हो, तो circle की standard equation होती है:

$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$

यही circle की सबसे important equation है।

इस equation का अर्थ यह है कि circle पर स्थित हर point $(x,y)$, center $(h,k)$ से ठीक $r$ दूरी पर है।

Standard Equation of a Circle

यदि center origin पर हो, यानी $(0,0)$ तो equation बहुत simple हो जाती है:

$$x^2+y^2=r^2$$

यह origin-centered circle की equation है।

Example

यदि center $(0,0)$ हो और radius $3$ हो, तो equation होगी:

$$x^2+y^2=9$$

अतः required circle है:$$\boxed{x^2+y^2=9}$$

Circle with any center

यदि center origin पर न होकर $(h,k)$ हो, तो equation होगी:

$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$

Example

Find the equation of the circle whose center is $(2,-1)$ and radius is $4$.

Formula लगाएँ:$$(x-2)^2+(y+1)^2=16$$

अतः required equation है:$$\boxed{(x-2)^2+(y+1)^2=16}$$

यह chapter का सबसे basic direct question है।

General Equation of a Circle

Circle की general equation होती है:

$$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$$

इस form में $x^2$ और $y^2$ के coefficients same होते हैं, और $xy$ term नहीं होती।
यदि equation इस form में हो, तो उससे center और radius निकाले जा सकते हैं।

इस circle का center होता है:$$(-g,-f)$$

और radius होता है:$$\sqrt{g^2+f^2-c}$$​

Example

Given equation:$$x^2+y^2-4x+6y-12=0$$

यहाँ$$2g=-4 \Rightarrow g=-2$$

$$2f=6 \Rightarrow f=3$$

$$c=-12$$

अतः center होगा:$$(-g,-f)=(2,-3)$$

और radius होगा:$$\sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)} =\sqrt{4+9+12} =\sqrt{25} =5$$

अतः circle का center और radius हैं:$$\boxed{(2,-3),\;5}$$

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General form से standard form में बदलना

Circle के कई questions में equation general form में दी जाती है, लेकिन understanding standard form से आसान होती है।
ऐसी स्थिति में completing the square method use की जाती है।

Example

Convert into standard form:$$x^2+y^2-6x+4y-3=0$$

अब terms arrange करें:$$x^2-6x+y^2+4y=3$$

अब square complete करें:$$x^2-6x+9+y^2+4y+4=3+9+4$$

$$(x-3)^2+(y+2)^2=16$$

अतः standard form है:$$\boxed{(x-3)^2+(y+2)^2=16}$$

इससे साफ है कि center है:$$(3,-2)$$

और radius है:$$4$$

Circle का graphically meaning

Circle की equation से केवल algebraic expression नहीं मिलता, बल्कि उसका geometric shape भी directly समझा जा सकता है।
यदि center और radius ज्ञात हों, तो circle का rough graph आसानी से बनाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए,$$(x-1)^2+(y-2)^2=9$$

का अर्थ है:

• center $(1,2)$
• radius $3$

अब इस center से हर direction में 3 units दूर points लेकर circle draw किया जा सकता है।

यही reason है कि circle वाले questions में center और radius identify करना सबसे पहला step होना चाहिए।

Diameter Form of a Circle

यदि circle के diameter के endpoints दिए हों, तो equation निकालने के लिए एक special method use किया जाता है।

यदि endpoints हों:$$(x_1,y_1)\quad \text{और} \quad (x_2,y_2)$$

तो circle की equation obtained होती है by using the fact कि circle पर किसी point $(x,y)$ से diameter subtends a right angle

Standard result है:$$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$$

Example

Find the equation of the circle whose diameter has endpoints $(1,2)$ and $(5,4)$.

Formula लगाएँ:$$(x-1)(x-5)+(y-2)(y-4)=0$$

Expand करें:$$x^2-6x+5+y^2-6y+8=0$$

$$x^2+y^2-6x-6y+13=0$$

अतः required equation है:$$\boxed{x^2+y^2-6x-6y+13=0}$$

Circle through three points

यदि किसी circle पर तीन non-collinear points दिए हों, तो circle की equation निकाली जा सकती है।
इसके लिए general equation$$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$$

में तीनों points रखकर $g$, $f$, और $c$ निकाले जाते हैं।

Example

Find the equation of the circle passing through points $(1,0)$, $(0,1)$ and $(1,1)$

मान लें equation है:$$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$$

अब $(1,0)$ रखने पर:$$1+2g+c=0$$

$(0,1)$ रखने पर:$$1+2f+c=0$$

$(1,1)$ रखने पर:$$2+2g+2f+c=0$$

इन equations को solve करने पर मिलता है:$$g=f=-\frac{1}{2},\quad c=0$$

अतः equation है:$$x^2+y^2-x-y=0$$

यही required circle है।

Tangent to a Circle

Circle पर किसी given point पर जो straight line केवल एक point पर touch करे, उसे tangent कहते हैं।
Tangent उस point पर radius के perpendicular होती है।

यदि circle$$x^2+y^2=r^2$$

हो और point $(x_1,y_1)$ उस पर स्थित हो, तो tangent की equation होती है:

$$xx_1+yy_1=r^2$$

Example

Find the tangent to the circle$$x^2+y^2=25$$

at the point $(3,4)$.

Formula लगाएँ:$$3x+4y=25$$

अतः required tangent है:$$\boxed{3x+4y=25}$$

Tangent in general circle

यदि circle general form में हो, तो tangent निकालने के लिए पहले point check किया जाता है और फिर standard tangent form use की जाती है।

यदि circle है:$$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$$

तो point $(x_1,y_1)$ पर tangent होगी:

$$xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$$

यह formula advanced numerical questions में बहुत useful होता है।

Condition of Tangency

यदि किसी point से circle पर tangent draw की जाए, तो point से center तक की distance और radius के relation का use होता है।

किसी line के circle को tangent होने की condition है कि center से line की perpendicular distance, radius के बराबर हो।

Example

Check whether line$$3x+4y-10=0$$

is tangent to circle$$x^2+y^2=25$$

Circle का center है $(0,0)$, radius है $5$.

अब center से line की distance:

$$d=\frac{|3(0)+4(0)-10|}{\sqrt{3^2+4^2}} =\frac{10}{5} =2$$

क्योंकि distance radius के बराबर नहीं है, इसलिए line tangent नहीं है।

Chord of a Circle

Circle के किसी दो points को join करने वाला line segment chord कहलाता है।
यदि chord center से होकर गुजरे, तो वह diameter कहलाता है।

Circle वाले कई questions में chord की midpoint property, perpendicular from center, और chord length related formulas use किए जाते हैं।

यदि center से chord पर perpendicular डाली जाए, तो वह chord को bisect करती है।
यह property बहुत important है।

Length of Chord

यदि circle की radius $r$ हो और center से chord की perpendicular distance $d$ हो, तो chord की length होती है:$$2\sqrt{r^2-d^2}$$

Example

यदि किसी circle की radius $5$ हो और center से chord की distance $3$ हो, तो chord length होगी:

$$2\sqrt{25-9} =2\sqrt{16} =8$$

अतः chord की length है:$$\boxed{8}$$

Relative Position of a Point and Circle

किसी point का circle के अंदर, बाहर, या circle पर होना भी एक important concept है।

यदि circle हो:$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$

और point $(x_1,y_1)$ हो, तो center से point की distance compare की जाती है।

• यदि distance $< r$, तो point circle के अंदर है
• यदि distance $= r$, तो point circle पर है
• यदि distance $> r$, तो point circle के बाहर है

Example

Check the position of point $(4,1)$ relative to circle

$$(x-1)^2+(y-1)^2=9$$

Circle का center है $(1,1)$, radius $3$.

अब center से point की distance:$$\sqrt{(4-1)^2+(1-1)^2} =\sqrt{9} =3$$

अतः point circle पर स्थित है।

Relative Position of a Line and Circle

यदि कोई line circle को दो points पर cut करे, तो वह secant होती है।
यदि केवल एक point पर touch करे, तो tangent होती है।
यदि circle को cut न करे, तो non-intersecting line होती है।

यह determine करने के लिए center से line की perpendicular distance compare की जाती है।

• distance $< r$ → secant
• distance $= r$ → tangent
• distance $> r$ → no intersection

यह concept short numerical questions में बहुत पूछा जाता है।

Family of Circles

कई advanced questions में दो circles की equations दी जाती हैं और उनसे passing circle family या coaxal system type questions पूछे जाते हैं।
Basic level पर इतना जानना useful है कि two circles की equations को combine करके new family of circles बनाई जा सकती है।

यदि two circles हों:$$S_1=0,\quad S_2=0$$

तो family can be written as:$$S_1+\lambda S_2=0$$

यह chapter का थोड़ा advanced part है, लेकिन long numerical questions में useful हो सकता है।

Questions solve करने की सामान्य विधि

Circles वाले questions में सबसे पहले equation की form पहचाननी चाहिए।
यदि equation standard form में हो, तो center और radius तुरंत identify कर लेने चाहिए।
यदि equation general form में हो, तो उसे standard form में बदलना चाहिए।
यदि diameter, tangent, chord, या three-point condition दी गई हो, तो उसी के अनुसार proper formula choose करना चाहिए।
इस chapter में अक्सर difficulty calculation से ज्यादा equation की सही form पहचानने में होती है।

इस topic की मुख्य बात

Circle chapter में हम circle की standard equation, general equation, center-radius form, diameter form, tangent, chord, relative position of point and line, तथा solved examples के माध्यम से coordinate geometry का एक बहुत important part पढ़ते हैं।
यह topic geometry और algebra का सुंदर combination है, और exam में इस chapter से short तथा long numerical दोनों प्रकार के questions पूछे जाते हैं।

यदि center, radius और equation forms अच्छे से समझ ली जाएँ, तो circle वाले numericals काफी easy और logical हो जाते हैं।