Introduction

Interpolation का मुख्य उद्देश्य दिए गए data points के बीच किसी unknown value का approximation निकालना होता है।
इसके लिए हम एक polynomial बनाते हैं जो known data points को satisfy करे।

लेकिन practical situation में interpolated value हमेशा exact नहीं होती।
Known values से polynomial बनाकर जो estimated value निकाली जाती है, और actual value के बीच जो अंतर आता है, उसी को error in polynomial interpolation कहा जाता है।

दूसरे शब्दों में, interpolation हमें exact value नहीं, बल्कि उसका approximation देता है।
यह approximation जितना actual value के करीब होगा, interpolation उतनी अच्छी मानी जाएगी।

Polynomial Interpolation का Basic Idea

मान लें कि किसी function $f(x)$ के कुछ values दिए गए हैं:

$$(x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$$

जहाँ$$y_i = f(x_i)$$

अब इन points के आधार पर एक polynomial $P_n(x)$ बनाया जाता है ताकि:

$$P_n(x_i) = f(x_i), \quad i = 0,1,2,\dots,n$$

यह polynomial दिए गए सभी points से होकर गुजरता है।
अब किसी बीच के point $x$ पर $P_n(x)$ को interpolate value माना जाता है।

लेकिन generally,$$P_n(x) \neq f(x)$$

इसलिए error उत्पन्न होता है।

Definition of Interpolation Error

यदि actual function $f(x)$ है और interpolating polynomial $P_n(x)$ है, तो interpolation error होगा:

$$E_n(x) = f(x) – P_n(x)$$

यह formula बताता है कि actual value और interpolated value के बीच का अंतर ही error है।

General Formula for Error

यदि $f(x)$ sufficiently differentiable है, तो interpolation error का general form होता है:

$$E_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$$

जहाँ $\xi$ξ interval के अंदर कोई एक value है।

Explanation of the Formula

अब इस formula को ध्यान से समझो, क्योंकि यही इस topic का सबसे important mathematical part है।

इसमें:

• $f^{(n+1)}(\xi)$ function का $(n+1)$th derivative है
• $(n+1)!$ factorial term है
• $(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$ interpolation nodes का product है

इसका अर्थ यह है कि error तीन चीजों पर depend करता है:

1. Function की smoothness पर
2. Polynomial की degree पर
3. जिस point पर value चाहिए, उस point की data points से दूरी पर

Important Observation

यदि function स्वयं degree $n$ का polynomial है, तो $f^{(n+1)}(x)=0$ होगा।
इस स्थिति में:$$E_n(x)=0$$

अर्थात interpolation exact होगा।

यह बहुत important result है।

Example 1

मान लें:$$f(x)=x^2$$

और points लिए गए हैं:$$x_0=1,\quad x_1=2,\quad x_2=3$$

अब यदि हम degree 2 polynomial interpolation करें, तो $P_2(x)$ exactly $x^2$ ही होगा।

इसलिए:$$E_2(x)=f(x)-P_2(x)=0$$

Explanation

क्योंकि original function पहले से ही degree 2 का polynomial है, इसलिए degree 2 का interpolation polynomial उसे exactly represent करेगा।
इस case में कोई interpolation error नहीं होगा।

Example 2

मान लें:$$f(x)=e^x$$

और हमने linear interpolation (degree 1) का उपयोग किया।
अब $e^x$ polynomial नहीं है, इसलिए interpolation value exact नहीं होगी।

यदि interpolating polynomial $P_1(x)$ है, तो error होगा:

$$E_1(x)=f(x)-P_1(x)$$

और theory के अनुसार:$$E_1(x)=\frac{f”(\xi)}{2!}(x-x_0)(x-x_1)$$

क्योंकि$$f(x)=e^x \Rightarrow f”(x)=e^x$$

इसलिए:$$E_1(x)=\frac{e^\xi}{2}(x-x_0)(x-x_1)$$

Explanation

यहाँ error zero नहीं है क्योंकि $e^x$ polynomial function नहीं है।
इसलिए interpolation केवल approximation देगा।

Factors Affecting Interpolation Error

Interpolation error कई factors पर depend करता है:

1. Degree of Polynomial

यदि polynomial degree बढ़ाई जाए, तो कई बार approximation improve होता है।
लेकिन बहुत high degree होने पर oscillation भी आ सकती है।

2. Nature of Function

यदि function smooth है, तो interpolation better होता है।
यदि function rapidly change करता है, तो error बढ़ सकता है।

3. Choice of Data Points

यदि data points उचित रूप से चुने जाएँ, तो error कम होता है।
बहुत दूर-दूर points होने पर error बढ़ सकता है।

4. Position of Required Value

यदि required $x$ data points के बीच center के पास है, तो error कम होता है।
Boundary के पास error अधिक हो सकता है।

Graphical Meaning of Error

Graphically, interpolation error वह vertical distance है जो actual curve $y=f(x)$ और interpolation polynomial $y=P_n(x)$ के बीच किसी point पर होती है।

यदि दोनों curves लगभग एक-दूसरे के पास हैं, तो error छोटा होगा।
यदि दोनों के बीच gap ज्यादा है, तो error बड़ा होगा।

Graphical Representation of Interpolation Error

Explanation

Graph में दो curves होते हैं:

• $y = f(x)$ → actual function
• $y = P_n(x)$ → interpolation polynomial

अब किसी point $x$ पर:$$\text{Error} = f(x) – P_n(x)$$

यह error graph में दोनों curves के बीच का vertical distance होता है।

Table Representation

मान लो:$$f(x) = e^x$$

और हम linear interpolation use कर रहे हैं।

Data Table

x	Actual Value $f(x)$	Interpolated Value $P(x)$	Error $E(x)$
1.0	2.718	2.700	0.018
1.2	3.320	3.280	0.040
1.5	4.481	4.400	0.081

---

Explanation

• Actual Value → real function से
• Interpolated Value → polynomial से
• Error → difference

$$E(x) = f(x) – P(x)$$

Important समझो:

• अगर curves पास-पास हैं → error छोटा
• अगर curves दूर हैं → error बड़ा

Practical Importance

Errors in polynomial interpolation को समझना बहुत जरूरी है क्योंकि:

• इससे approximation की reliability पता चलती है
• data analysis में estimated values की accuracy पता चलती है
• computer applications में interpolation method choose करने में help मिलती है
• engineering calculations में correct method selection possible होता है

Final Understanding

Interpolation polynomial द्वारा निकाली गई value हमेशा exact नहीं होती
Actual value और interpolated value के बीच का अंतर interpolation error कहलाता है
इसका general formula higher derivative पर आधारित होता है
यदि original function polynomial of degree $n$n हो, तो degree $n$n interpolation exact होता है
Error function की nature, degree और data points की choice पर depend करता है