Introduction

Interpolation में हम discrete data points के साथ काम करते हैं।
इन points के बीच relation समझने के लिए हम finite differences का उपयोग करते हैं।

Finite Differences का उपयोग data के pattern को समझने, interpolation formulas बनाने और error detect करने में किया जाता है।

Basic Idea

मान लें हमारे पास data है:

x	y
x₀	y₀
x₁	y₁
x₂	y₂
x₃	y₃

जहाँ $y = f(x)$

और $x$ values equally spaced हैं:$$x_1 – x_0 = x_2 – x_1 = h$$

1. Forward Difference

Definition

Forward difference उस difference को कहते हैं जो आगे वाले value से लिया जाता है।

$$\Delta y_0 = y_1 – y_0$$

$$\Delta y_1 = y_2 – y_1$$

Higher Order Forward Difference

Second order:$$\Delta^2 y_0 = \Delta y_1 – \Delta y_0$$

Third order:$$\Delta^3 y_0 = \Delta^2 y_1 – \Delta^2 y_0$$

Example

x	y
1	1
2	4
3	9
4	16

Forward differences:

First difference:$$\Delta y_0 = 4 – 1 = 3$$

$$\Delta y_1 = 9 – 4 = 5$$

$$\Delta y_2 = 16 – 9 = 7$$

Second difference:$$\Delta^2 y_0 = 5 – 3 = 2$$

$$\Delta^2 y_1 = 7 – 5 = 2$$

Forward Difference Table

x	y	Δy	Δ²y
1	1	3	2
2	4	5	2
3	9	7
4	16

2. Backward Difference

Definition

Backward difference उस difference को कहते हैं जो पीछे वाले value से लिया जाता है।

$$\nabla y_1 = y_1 – y_0$$

​ $$\nabla y_2 = y_2 – y_1$$

Higher Order Backward Difference

$$\nabla^2 y_2 = \nabla y_2 – \nabla y_1$$

Example

Same data use करें:

x	y
1	1
2	4
3	9
4	16

Backward differences:$$\nabla y_1 = 4 – 1 = 3$$

$$\nabla y_2 = 9 – 4 = 5$$

$$\nabla y_3 = 16 – 9 = 7$$

Second difference:$$\nabla^2 y_2 = 5 – 3 = 2$$

$$\nabla^2 y_3 = 7 – 5 = 2$$

Backward Difference Table

x	y	∇y	∇²y
1	1
2	4	3
3	9	5	2
4	16	7	2

3. Central Difference

Definition

Central difference में हम values को center से compare करते हैं।

$$\delta y_i = y_{i+1} – y_{i-1}$$

Example

Same data:$$\delta y_2 = y_3 – y_1 = 9 – 1 = 8$$

Explanation

Central difference middle points के लिए use होता है और यह forward/backward से ज्यादा accurate होता है।

Graph :

• discrete data points होते हैं
• differences points के बीच vertical gaps दिखाते हैं
• forward → आगे
• backward → पीछे
• central → दोनों तरफ

Important Observations

• यदि second difference constant हो → polynomial degree 2
• यदि third difference constant हो → polynomial degree 3
• finite differences polynomial की nature पहचानने में मदद करते हैं

Final Understanding

Finite Differences discrete data के differences को represent करते हैं
Forward difference आगे की values use करता है
Backward difference पीछे की values use करता है
Central difference middle-based comparison करता है
यह interpolation formulas का base है