Interpolation with Unevenly Spaced Points

Introduction

अब तक आपने जो interpolation methods पढ़े (Newton Forward, Backward, Gauss), वे सभी केवल equally spaced data पर लागू होते हैं।

लेकिन practical problems में data अक्सर unequal spacing में दिया होता है।

ऐसी स्थिति में हमें ऐसे methods की जरूरत होती है जो unequal intervals को handle कर सकें।
इसी को Interpolation with Unevenly Spaced Points कहते हैं।

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Basic Idea

मान लें हमारे पास data है:

x	y
x₀	y₀
x₁	y₁
x₂	y₂
x₃	y₃

जहाँ:$$x_1 – x_0 \neq x_2 – x_1$$x1​−x0​=x2​−x1​

यानि intervals equal नहीं हैं

👉 इसलिए finite difference methods (Δ, ∇) सीधे apply नहीं होंगे

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Problem with Unequal Data

Equal interval में:$$u = \frac{x – x_0}{h}$$u=hx−x0​​

लेकिन यहाँ $h$h constant नहीं है

👉 इसलिए Newton Forward/Backward formula use नहीं कर सकते

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Solution

Uneven spacing के लिए हम मुख्यतः ये methods use करते हैं:

1. Lagrange Interpolation Formula
2. Divided Difference Method
3. Newton’s General Interpolation Formula

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General Concept

हम एक polynomial $P(x)$P(x) बनाते हैं जो सभी data points को satisfy करे:$$P(x_i) = y_i$$P(xi​)=yi​

यह polynomial किसी भी spacing के लिए valid होता है

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Example

मान लें:

x	y
1	1
2	8
4	64

Find value at $x = 3$x=3

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Idea (Conceptual)

यहाँ spacing:$$2 – 1 = 1,\quad 4 – 2 = 2$$2−1=1,4−2=2

👉 unequal spacing है

इसलिए:

• finite difference method fail होगा
• हमें polynomial-based method use करना होगा

Graphical Understanding

Graph में:

• data points irregular spacing में होते हैं
• curve उन सभी points को pass करता है
• बीच की value उसी curve से estimate होती है

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Important Observation

• Equal spacing जरूरी नहीं है
• Polynomial interpolation हर case में काम करता है
• Accuracy data points की quality पर depend करती है

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Why This Topic Important है

• Real-life data हमेशा equal spacing में नहीं होता
• Engineering और computer applications में widely use होता है
• Exam में direct numerical पूछा जाता है

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Final Understanding

Unevenly spaced data में traditional methods काम नहीं करते
इसलिए advanced polynomial-based methods use किए जाते हैं
यह interpolation का practical और real-world application है