Trapezoidal Rule

Introduction

Numerical Integration में Trapezoidal Rule एक important method है जिसका use curve के नीचे का area approximate करने के लिए किया जाता है।

इसमें:
curve को straight lines से join करके trapezoids (समलम्ब चतुर्भुज) बनाए जाते हैं

Basic Idea

• Curve को छोटे intervals में divide किया जाता है
• हर दो points के बीच एक trapezium बनता है
• सभी trapeziums का area जोड़कर total area निकाला जाता है

Graphical Understanding

Curve को straight lines से connect करने पर trapezoids बनते हैं
यही इस method का base है

Formula

For Equal Intervals:

$$\int_{x_0}^{x_n} y\,dx \approx \frac{h}{2} \left[y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + … + y_{n-1}) \right]$$

जहाँ:

• $h = x_1 – x_0$
• $y_0$​ = first value
• $y_n$​ = last value

Numerical Example

मान लो हमें यह data दिया गया है:

x	y
0	1
1	2
2	3

यहाँ:

• $h = 1$
• number of intervals = 2

Solution

Formula apply करते हैं:$$Area = \frac{1}{2} [y_0 + y_2 + 2(y_1)]$$

$$= \frac{1}{2} [1 + 3 + 2(2)]$$

$$= \frac{1}{2} [1 + 3 + 4] = \frac{8}{2} = 4$$

Explanation

• $y_0$​ और $y_n$ (first & last) को single लिया जाता है
• बीच वाले values को 2 से multiply किया जाता है
• क्योंकि वो दो trapezoids में common होते हैं

Important Points

• Rectangular method से ज्यादा accurate है
• Curve को straight lines से approximate करता है
• Simple और widely used method है

Conclusion

Trapezoidal Rule एक easy और effective numerical method है:

• जब data table form में हो
• जब quick approximation चाहिए

आगे हम Simpson’s Rules पढ़ेंगे जो इससे भी ज्यादा accurate होते हैं