Simpson’s 1/3 Rule

Introduction

Numerical Integration में Simpson’s 1/3 Rule एक advanced और highly accurate method है, जिसका उपयोग definite integral का approximate मान निकालने के लिए किया जाता है।

जब किसी function का exact integration निकालना कठिन हो या केवल table values दी गई हों, तब यह method बहुत उपयोगी होता है। Trapezoidal Rule में जहाँ curve को straight lines से approximate किया जाता है, वहीं Simpson’s 1/3 Rule में curve को parabolic curves (द्विघात वक्र) के माध्यम से approximate किया जाता है।

यही कारण है कि यह method trapezoidal rule की तुलना में अधिक सटीक परिणाम देता है।

Condition (महत्वपूर्ण शर्त)

Simpson’s 1/3 Rule को लागू करने के लिए यह आवश्यक है कि:

• intervals की संख्या even (सम संख्या) हो
• सभी x values equally spaced हों

यदि यह condition पूरी नहीं होती, तो यह rule apply नहीं किया जा सकता।

Basic Idea

इस method में:

• तीन consecutive points लिए जाते हैं
• उन points के बीच curve को parabola से represent किया जाता है
• हर दो intervals के लिए area निकाला जाता है
• अंत में सभी areas को जोड़कर total area प्राप्त किया जाता है

Formula

$$\int_{x_0}^{x_n} y\,dx \approx \frac{h}{3} \left[y_0 + y_n + 4(y_1 + y_3 + y_5 + \cdots) + 2(y_2 + y_4 + y_6 + \cdots)\right]$$

जहाँ:

• $h = x_1 – x_0$
• $y_0$​ = first value
• $y_n$​ = last value
• odd index terms (जैसे $y_1, y_3$​) को 4 से multiply किया जाता है
• even index terms (जैसे $y_2, y_4$) को 2 से multiply किया जाता है

Numerical Example (Step-by-Step)

मान लो हमें निम्नलिखित data दिया गया है:

x	y
0	1
1	2
2	3

Step 1: Check Condition

• Total points = 3
• Intervals = 3 – 1 = 2
• 2 even है, इसलिए rule apply कर सकते हैं

Step 2: Find h

$$h = x_1 – x_0 = 1 – 0 = 1$$

Step 3: Apply Formula

$$Area = \frac{h}{3} [y_0 + y_2 + 4(y_1)]$$

Step 4: Values Put करें

$$= \frac{1}{3} [1 + 3 + 4(2)]$$

Step 5: Solve करें

$$= \frac{1}{3} [1 + 3 + 8]$$

$$= \frac{12}{3} = 4$$

Final Answer

Approximate area = 4

Explanation of Result

इस example में:

• first और last values को सीधे लिया गया
• बीच वाली value $y_1$​ को 4 से multiply किया गया
• क्योंकि parabolic approximation में middle point का contribution ज्यादा होता है

इस method में curve को parabola से represent करने के कारण result ज्यादा accurate आता है।

Important Points

• यह method trapezoidal rule से अधिक accurate होता है
• Even intervals होना जरूरी है
• Equally spaced data होना चाहिए
• Parabolic approximation use करता है

Conclusion

Simpson’s 1/3 Rule एक powerful numerical technique है जो:

• higher accuracy प्रदान करता है
• engineering और scientific calculations में उपयोगी है
• exam में अक्सर numerical problems के रूप में पूछा जाता है