Simpson’s 3/8 Rule

Introduction

Numerical Integration में Simpson’s 3/8 Rule एक important method है, जो definite integral का approximate मान निकालने के लिए उपयोग किया जाता है। यह भी Simpson’s family का ही एक method है, लेकिन इसका approach Simpson’s 1/3 Rule से थोड़ा अलग होता है।

इस method में curve को cubic polynomial (तीसरी degree के वक्र) के द्वारा approximate किया जाता है। इसलिए यह method उन situations में useful होता है जहाँ data points ऐसे हों कि Simpson’s 1/3 Rule directly apply न हो पाए।

यह method trapezoidal rule से अधिक accurate होता है और कुछ cases में Simpson’s 1/3 Rule के साथ combined रूप में भी use किया जाता है।

Condition (महत्वपूर्ण शर्त)

Simpson’s 3/8 Rule को apply करने के लिए:

intervals की संख्या 3 के multiple (3, 6, 9, …) होनी चाहिए
सभी x values equally spaced हों

Basic Idea

इस method में:

चार consecutive points लिए जाते हैं
उनके बीच curve को cubic curve से approximate किया जाता है
हर तीन intervals के लिए area निकाला जाता है
फिर सभी areas को जोड़कर final result प्राप्त किया जाता है

Formula

$\int_{x_0}^{x_n} y\,dx \approx \frac{3h}{8} \left[y_0 + y_n + 3(y_1 + y_2 + y_4 + y_5 + \cdots) + 2(y_3 + y_6 + \cdots)\right]$

जहाँ:

$h = x_1 – x_0$
$y_0$ = first value
$y_n$ = last value
multiples of 3 index (जैसे $y_3, y_6$ ) को 2 से multiply किया जाता है
बाकी middle terms को 3 से multiply किया जाता है

Numerical Example (Step-by-Step)

मान लो हमें यह data दिया गया है:

x	y
0	1
1	2
2	3
3	4

Step 1: Check Condition

Total points = 4
Intervals = 4 – 1 = 3
3, 3 का multiple है ✔
इसलिए rule apply कर सकते हैं

Step 2: Find h

$h = x_1 – x_0 = 1 – 0 = 1$

Step 3: Apply Formula

$Area = \frac{3h}{8} [y_0 + y_3 + 3(y_1 + y_2)]$

Step 4: Values Put करें

$= \frac{3}{8} [1 + 4 + 3(2 + 3)]$

Step 5: Solve करें

$= \frac{3}{8} [1 + 4 + 15]$

$= \frac{3}{8} \times 20 = 7.5$

Final Answer

Approximate area = 7.5

Explanation of Result