General Error Formula

Introduction

अब तक आपने individual errors (absolute, relative, percentage) को समझ लिया है।
लेकिन practical numerical problems में हम अक्सर ऐसे functions से deal करते हैं जहाँ एक quantity कई variables पर depend करती है।

ऐसी स्थिति में हमें यह जानना होता है कि variables में छोटे errors का final result पर क्या प्रभाव पड़ेगा।
इसी concept को General Error Formula द्वारा व्यक्त किया जाता है।

Concept

मान लें कि कोई function है:$$y = f(x)$$

जहाँ $x$ में एक छोटा error $\Delta x$ है।
इस error की वजह से $y$ में भी एक error उत्पन्न होगा, जिसे $\Delta y$ कहते हैं।

General Error Formula के अनुसार:$$\Delta y = \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x$$

Explanation

यह formula derivative पर आधारित है।
यह हमें बताता है कि input variable में छोटे परिवर्तन (error) का output पर क्या प्रभाव पड़ेगा।

• $\frac{dy}{dx}$​ → rate of change (sensitivity)
• $\Delta x$→ input error
• $\Delta y$→ output error

इसका मतलब है कि output error, derivative और input error के product के बराबर होता है।

Extension for Multiple Variables

यदि function एक से अधिक variables पर depend करता है, जैसे:

$$y = f(x_1, x_2, x_3, \dots)$$

तो general error formula होगा:$$\Delta y = \frac{\partial y}{\partial x_1}\Delta x_1 + \frac{\partial y}{\partial x_2}\Delta x_2 + \frac{\partial y}{\partial x_3}\Delta x_3 + \dots$$

Explanation

यहाँ partial derivatives का उपयोग किया जाता है।
हर variable का error अलग-अलग calculate करके total error में जोड़ दिया जाता है।

इससे हमें यह समझने में मदद मिलती है कि कौन-सा variable result को ज्यादा affect कर रहा है।

Example (Single Variable)

मान लें:$$y = x^2$$

और $x = 5$ तथा error $\Delta x = 0.1$

अब,$$\frac{dy}{dx} = 2x$$

$$\frac{dy}{dx} = 2 \times 5 = 10$$

अब general error formula से:$$\Delta y = 10 \times 0.1 = 1$$

Explanation:
Input में 0.1 का error होने से output में लगभग 1 का error आ रहा है।
यह derivative की वजह से amplify हो गया।

Example (Multiple Variables)

मान लें:$$y = x + z$$

जहाँ
$\Delta x = 0.2$
$\Delta z = 0.3$

अब,$$\frac{\partial y}{\partial x} = 1,\quad \frac{\partial y}{\partial z} = 1$$

तो,$$\Delta y = (1)(0.2) + (1)(0.3) = 0.5$$

Explanation:
दोनों variables के errors directly add हो जाते हैं।

Important Observations

• General Error Formula approximation देता है (exact नहीं)
• यह छोटे errors (small increments) के लिए valid होता है
• यह derivative पर आधारित है, इसलिए calculus का use होता है
• यह engineering और numerical analysis में बहुत important है

Final Understanding

General Error Formula हमें यह समझने में मदद करता है कि input variables में error का output पर कितना प्रभाव पड़ेगा।
यह formula derivatives का उपयोग करके error propagation को express करता है।
Single variable में ordinary derivative और multiple variables में partial derivatives का उपयोग किया जाता है।