Introduction

Numerical Analysis में जब किसी quantity का true value (exact value) और approximate value (measured or computed value) अलग होते हैं, तो उनके बीच का अंतर error कहलाता है।

मान लें:

• True Value = $T$
• Approximate Value = $A$

तब error को mathematically इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

Error = $T – A$

Error का अध्ययन आवश्यक है क्योंकि यह हमें बताता है कि किसी approximation की reliability कितनी है।

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Types of Errors

Numerical calculations में मुख्यतः तीन प्रकार के errors उपयोग किए जाते हैं:

1. Absolute Error
2. Relative Error
3. Percentage Error

अब हम इन्हें एक-एक करके समझते हैं।

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1. Absolute Error

Definition

Absolute Error वह मान है जो true value और approximate value के बीच के अंतर का परिमाण (magnitude) होता है।

Mathematically:

Absolute Error = $|T – A|$

जहाँ:
$T$ = True Value
$A$ = Approximate Value

Absolute error हमेशा non-negative होता है।

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Example

मान लें:
True value $T = 50$
Approximate value $A = 48$

Absolute Error = $|50 – 48| = 2$

Explanation:
यह बताता है कि approximate value true value से 2 units दूर है।
Sign का कोई महत्व नहीं है, केवल magnitude महत्वपूर्ण है।

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Interpretation

Absolute error केवल error की मात्रा (size) बताता है, लेकिन यह नहीं बताता कि error कितना significant है relative to the true value।

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2. Relative Error

Definition

Relative Error, absolute error का true value के साथ अनुपात होता है।
यह error को true value के सापेक्ष व्यक्त करता है।

Mathematically:

Relative Error = $\frac{|T – A|}{|T|}$​

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Example

मान लें:
True value $T = 100$
Approximate value $A = 98$

Absolute Error = $|100 – 98| = 2$

Relative Error = $\frac{2}{100} = 0.02$

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Explanation

यह दर्शाता है कि error, true value का 0.02 (या 2%) भाग है।
इससे हमें यह समझने में मदद मिलती है कि error कितना significant है।

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Interpretation

Relative error dimensionless (unit-less) होता है और यह comparison के लिए अधिक उपयोगी होता है।

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3. Percentage Error

Definition

Percentage Error, relative error को प्रतिशत (%) में व्यक्त करता है।

Mathematically:

Percentage Error = $\frac{|T – A|}{|T|} \times 100$

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Example

उपरोक्त उदाहरण को ही लें:

Relative Error = 0.02

Percentage Error = $0.02 \times 100 = 2\%$

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Explanation

यह बताता है कि measured value में 2% की error है।
Percentage form में error को समझना और compare करना आसान होता है।

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Interpretation

Percentage error practical applications और engineering calculations में सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

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Relationship Between Errors

Absolute Error → basic difference
Relative Error → normalized error
Percentage Error → relative error in percentage form

Mathematically:

Relative Error = Absolute Error / True Value
Percentage Error = Relative Error × 100

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Final Understanding

Error = True value और Approximate value के बीच का अंतर
Absolute error केवल magnitude बताता है
Relative error error की तुलना true value से करता है
Percentage error उसी relative error को प्रतिशत में व्यक्त करता है
Numerical analysis में accuracy को evaluate करने के लिए ये तीनों अत्यंत महत्वपूर्ण हैं