Introduction

Interpolation में जब data points equal intervals पर दिए होते हैं, तब Newton ने कुछ powerful formulas दिए हैं जिनकी मदद से हम unknown values आसानी से निकाल सकते हैं।

Newton के दो मुख्य formulas होते हैं:

1. Newton’s Forward Interpolation Formula
2. Newton’s Backward Interpolation Formula

इनका उपयोग $x$x की position पर depend करता है।

1. Newton’s Forward Interpolation Formula

Use कब करें

जब required value table के beginning (start) के पास हो

Formula

$$y = y_0 + u \Delta y_0 + \frac{u(u-1)}{2!} \Delta^2 y_0 + \frac{u(u-1)(u-2)}{3!} \Delta^3 y_0 + \dots$$

जहाँ:$$u = \frac{x – x_0}{h}$$

और

• $h$ = interval (difference between x values)
• $y_0$​ = first value
• $\Delta y_0$ = forward difference

Example

x	y
0	1
1	2
2	4
3	8

Find $y$ at $x = 0.5$

---

Step 1: Difference Table

x	y	Δy	Δ²y	Δ³y
0	1	1	1	1
1	2	2	2
2	4	4
3	8

---

Step 2: Calculate u

$$u = \frac{0.5 – 0}{1} = 0.5$$

Step 3: Apply Formula

$$y = 1 + (0.5)(1) + \frac{0.5(-0.5)}{2}(1) + \frac{0.5(-0.5)(-1.5)}{6}(1)$$

$$y \approx 1.414$$

2. Newton’s Backward Interpolation Formula

Use कब करें

जब required value table के end (last) के पास हो

Formula

$$y = y_n + u \nabla y_n + \frac{u(u+1)}{2!} \nabla^2 y_n + \frac{u(u+1)(u+2)}{3!} \nabla^3 y_n + \dots$$

जहाँ:$$u = \frac{x – x_n}{h}$$

Example

Same table use करें और find करें $x = 2.5$

Step 1: Values

$$x_n = 3,\quad y_n = 8$$

$$u = \frac{2.5 – 3}{1} = -0.5$$

Step 2: Apply Formula

$$y = 8 + (-0.5)(4) + \frac{(-0.5)(0.5)}{2}(2) + \frac{(-0.5)(0.5)(1.5)}{6}(1)$$

$$y \approx 5.656$$

Graphical Understanding

Graph में:

• Data points plotted होते हैं
• Polynomial curve draw होती है
• Forward → शुरुआत से approximation
• Backward → अंत से approximation

Difference Between Forward and Backward

Forward	Backward
शुरुआत से use	अंत से use
$y_0$​ से शुरू	$y_n$​ से शुरू
$u = \frac{x-x_0}{h}$	$u = \frac{x-x_n}{h}$

Important Points

• Equal interval data होना चाहिए
• Difference table सही होना चाहिए
• Forward → start के पास
• Backward → end के पास

Final Understanding

Newton’s formulas interpolation के सबसे important tools हैं
Forward formula शुरुआत के लिए use होता है
Backward formula अंत के लिए use होता है
Difference tables इनके calculation का base हैं