Newton-Raphson Method – Numerical Solution of Equations

Newton-Raphson Method एक open method है जो किसी equation $f(x) = 0$ का root बहुत तेजी से निकालने के लिए उपयोग किया जाता है।

यह method derivative पर आधारित होता है और अन्य methods (जैसे Bisection, False Position) की तुलना में बहुत fast convergence देता है।

Basic Idea

मान लो हमें equation $f(x) = 0$ का root निकालना है।

हम एक initial approximation $x_0$लेते हैं और उसके पास tangent line draw करते हैं।
जहाँ यह tangent x-axis को काटता है, वही अगला approximation $x_1$​ होता है।

Formula

Newton-Raphson Method का iteration formula है:$$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

जहाँ:

• $f(x_n)$→ function value
• $f'(x_n)$ → derivative value

Algorithm

Step 1:
Equation $f(x) = 0$ और उसका derivative $f'(x)$ निकालें

Step 2:
Initial guess $x_0$ choose करें

Step 3:
Formula apply करें:$$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Step 4:
Process repeat करें जब तक:$$|x_{n+1} – x_n| < \epsilon$$

Example

Solve:$$f(x) = x^3 – x – 2 = 0$$

Step 1: Derivative निकालें

$$f'(x) = 3x^2 – 1$$

Step 2: Initial Guess

मान लें:$$x_0 = 1.5$$

Step 3: Iterations

First iteration:$$x_1 = 1.5 – \frac{f(1.5)}{f'(1.5)}$$

$$f(1.5) = -0.125,\quad f'(1.5) = 5.75$$

$$x_1 = 1.5 – \frac{-0.125}{5.75} = 1.5217$$

Second iteration:$$x_2 = 1.5217 – \frac{f(1.5217)}{f'(1.5217)}$$

$$f(1.5217) \approx 0.002,\quad f'(1.5217) \approx 5.94$$

$$x_2 \approx 1.521$$

अब values stabilize हो गई हैं।

Iteration Table

Iteration	$x_n$​	$f(x_n)$	$f'(x_n)$	$x_{n+1}$
0	1.500	-0.125	5.75	1.5217
1	1.5217	0.002	5.94	1.521
2	1.521	≈ 0	≈ 5.94	1.521

Final Result

$$x \approx 1.521$$Graph में:

• Curve $y = f(x)$ draw होता है
• Initial point से tangent draw किया जाता है
• Tangent जहाँ x-axis को काटता है, वही अगला approximation होता है
• यह process repeat होता है

Advantages

बहुत fast convergence देता है
कम iterations में accurate result देता है
Complex equations के लिए बहुत useful है

Limitations

Derivative निकालना जरूरी होता है
Initial guess गलत होने पर method fail हो सकता है
कुछ cases में divergence हो सकता है

Final Understanding

Newton-Raphson Method derivative-based method है
यह tangent line का उपयोग करके root तक पहुंचता है
यह सबसे fast numerical methods में से एक है
Exam और practical दोनों में बहुत important है