Lagrange’s Interpolation Formula

Introduction

Lagrange Interpolation Formula एक बहुत important method है जिसका उपयोग unequally spaced data points के लिए किया जाता है।

इस method में हम सीधे एक polynomial बनाते हैं जो दिए गए सभी data points को satisfy करता है।

👉 यह method बहुत powerful है क्योंकि इसमें difference table की जरूरत नहीं होती।

Basic Idea

मान लें हमें कुछ data points दिए गए हैं:$$(x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$$

तो हम एक polynomial $P(x)$ बनाते हैं ऐसा कि:$$P(x_i) = y_i$$

Lagrange Formula

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x)$$

जहाँ,$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x – x_j}{x_i – x_j}$$

Simplified Form (3 points के लिए)

यदि 3 points दिए हों:$$(x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)$$

तो:$$P(x) = y_0 \frac{(x – x_1)(x – x_2)}{(x_0 – x_1)(x_0 – x_2)} + y_1 \frac{(x – x_0)(x – x_2)}{(x_1 – x_0)(x_1 – x_2)} + y_2 \frac{(x – x_0)(x – x_1)}{(x_2 – x_0)(x_2 – x_1)}$$

Example

Given data:

x	y
1	1
2	4
4	16

Find value at $x = 3$

Step 1: Apply Formula

$$P(3) = 1 \cdot \frac{(3-2)(3-4)}{(1-2)(1-4)} + 4 \cdot \frac{(3-1)(3-4)}{(2-1)(2-4)} + 16 \cdot \frac{(3-1)(3-2)}{(4-1)(4-2)}$$

Step 2: Simplify

First term:$$= 1 \cdot \frac{(1)(-1)}{(-1)(-3)} = -\frac{1}{3}$$

Second term:$$= 4 \cdot \frac{(2)(-1)}{(1)(-2)} = 4$$

Third term:$$= 16 \cdot \frac{(2)(1)}{(3)(2)} = \frac{32}{6} = 5.33$$

Step 3: Final Answer

$$P(3) \approx -0.33 + 4 + 5.33 = 9$$$$\boxed{y \approx 9}$$

Graphical Understanding

Graph में:

• सभी given data points plotted होते हैं
• एक smooth polynomial curve उन सभी points को pass करता है
• required value उसी curve से ली जाती है

Advantages

• Unequal spacing के लिए best method
• Difference table की जरूरत नहीं
• Direct formula है

Limitations

• Calculation लंबा हो सकता है
• Large data set के लिए complex हो जाता है
• हर new value के लिए पूरा formula फिर से apply करना पड़ता है

Important Observation

• Polynomial हमेशा दिए गए points को exactly pass करता है
• Error केवल approximation point पर आता है
• Degree = number of points – 1

Final Understanding

Lagrange method unequal data के लिए सबसे important interpolation method है
यह direct polynomial बनाता है
Difference table की जरूरत नहीं होती
Exam में long numerical के रूप में बहुत पूछा जाता है