Numerical Integration

Introduction

जब किसी function का exact integration निकालना मुश्किल होता है या function का formula ही available नहीं होता, तब हम Numerical Integration का use करते हैं।

यानी:
हम definite integral की exact value की जगह उसका approximate value निकालते हैं।

Numerical Integration क्या है?

Numerical Integration एक technique है जिसके द्वारा हम दिए गए data (table values) या complex function के लिए area under the curve का approximate मान निकालते हैं।

यह method खासकर तब useful होता है जब:

• function complicated हो
• values discrete form में दी गई हों
• analytical integration possible न हो

Basic Formula

Definite integral को ऐसे लिखा जाता है:

$\int_a^b f(x)\,dx$

इसका मतलब:

• $a$ से $b$ तक curve के नीचे का area निकालना

Step Size

अगर values equally spaced हों, तो:$$h = x_1 – x_0$$

यही interval numerical methods में use होता है

General Idea

Numerical Integration में:

• curve को छोटे-छोटे parts में divide किया जाता है
• हर part का area निकाला जाता है
• सभी areas को जोड़कर total area निकाला जाता है

Numerical Example

मान लो हमें यह values दी गई हैं:

x	y
0	1
1	2

यहाँ:

• interval $h = 1$

अब area approx निकालते हैं:$$Area \approx h \times y_0$$

$$= 1 \times 1 = 1$$

Explanation of Example

• हमने सिर्फ first point लिया
• इसे rectangle की तरह consider किया
• यह सबसे basic approximation है

इसलिए यह exact answer नहीं है, सिर्फ approximation है

Important Points

• Numerical Integration = Approximate Integration
• Interval छोटा होगा → accuracy बढ़ेगी
• Different methods → different accuracy
• Real-life problems में बहुत use होता है

Conclusion

Numerical Integration एक powerful method है जिससे हम:

• difficult integrals solve कर सकते हैं
• practical problems (area, volume, physics) में use कर सकते हैं