Numerical Differentiation and Errors

Introduction

जब किसी function का exact derivative निकालना मुश्किल या impossible होता है (especially जब data table के रूप में दिया हो), तब हम Numerical Differentiation का use करते हैं।

यानी:
Analytical method की जगह हम approximation techniques का उपयोग करते हैं।

Numerical Differentiation क्या है?

Numerical Differentiation एक method है जिसमें हम दिए गए discrete data (table values) से derivative का approximate value निकालते हैं।

अगर हमारे पास function का formula नहीं है, सिर्फ values हैं, तब यह method बहुत useful होता है।

Basic Idea

Derivative का basic formula होता है:$$f'(x) = \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$

👉 यहाँ:

• $h$ = small interval (difference between values)
• यह Forward Difference Formula कहलाता है

Types of Numerical Differentiation

1. Forward Difference Formula

$$f'(x) \approx \frac{y_1 – y_0}{h}$$

2. Backward Difference Formula

$$f'(x) \approx \frac{y_0 – y_{-1}}{h}$$

3. Central Difference Formula

$$f'(x) \approx \frac{y_1 – y_{-1}}{2h}$$

Central difference सबसे ज्यादा accurate माना जाता है।

Errors in Numerical Differentiation

Numerical methods में exact value नहीं मिलती, इसलिए error आता है।

1. Truncation Error

• जब हम infinite series को cut (truncate) कर देते हैं
• Approximation की वजह से error आता है

2. Round-off Error

• Computer calculations में decimal rounding की वजह से error आता है

Important Points

• $h$ बहुत बड़ा होगा तो error बढ़ेगा
• $h$ बहुत छोटा होगा तो round-off error बढ़ सकता है
  इसलिए balanced value लेना जरूरी है

Example

मान लो:

x	y
1	2
2	4
3	8

अब $x = 2$x=2 पर derivative निकालना है:

Central Difference से:$$f'(2) = \frac{8 – 2}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Conclusion

Numerical Differentiation उन situations में बहुत useful है जहाँ:

• function का formula available नहीं है
• केवल table values दी गई हैं
• approximation sufficient है