Introduction

जब data unequally spaced होता है, तब Newton Forward और Backward formulas काम नहीं करते।

ऐसी स्थिति में हम Newton’s General Interpolation Formula का उपयोग करते हैं, जो Divided Differences पर आधारित होता है।

यह formula किसी भी spacing (equal या unequal) के लिए काम करता है।

Basic Idea

मान लें data points दिए गए हैं:$$(x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$$

तो हम एक polynomial बनाते हैं:$$P(x)$$

जो सभी points को satisfy करे:$$P(x_i) = y_i$$

Newton’s General Formula

$$P(x) = f(x_0) + (x – x_0) f[x_0, x_1] + (x – x_0)(x – x_1) f[x_0, x_1, x_2]$$

$$+ (x – x_0)(x – x_1)(x – x_2) f[x_0, x_1, x_2, x_3] + \dots$$

Explanation

इस formula में:

• $f(x_0)$ → initial value
• $f[x_0, x_1]$ → first divided difference
• $f[x_0, x_1, x_2]$ → second divided difference
• हर term में $x$ factors बढ़ते जाते हैं

यह polynomial step-by-step build होता है

Example

Given data:

x	y
1	1
2	4
4	16

Find value at $x = 3$

Step 1: Divided Difference Table

First differences:$$f[1,2] = \frac{4-1}{2-1} = 3$$

$$f[2,4] = \frac{16-4}{4-2} = 6$$

Second difference:$$f[1,2,4] = \frac{6-3}{4-1} = 1$$

Step 2: Apply Formula

$$P(x) = 1 + (x-1)(3) + (x-1)(x-2)(1)$$

Step 3: Find value at x = 3

$$P(3) = 1 + (3-1)(3) + (3-1)(3-2)(1)$$

$$= 1 + (2)(3) + (2)(1)$$

$$= 1 + 6 + 2 = 9$$

Final Answer

$$y \approx 9$$

Graphical Understanding

Introduction

जब data unequally spaced होता है, तब Newton Forward और Backward formulas काम नहीं करते।

ऐसी स्थिति में हम Newton’s General Interpolation Formula का उपयोग करते हैं, जो Divided Differences पर आधारित होता है।

यह formula किसी भी spacing (equal या unequal) के लिए काम करता है।

Basic Idea

मान लें data points दिए गए हैं:$$(x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$$

तो हम एक polynomial बनाते हैं:$$P(x)$$

जो सभी points को satisfy करे:$$P(x_i) = y_i$$

Newton’s General Formula

$$P(x) = f(x_0) + (x – x_0) f[x_0, x_1] + (x – x_0)(x – x_1) f[x_0, x_1, x_2]$$

$$+ (x – x_0)(x – x_1)(x – x_2) f[x_0, x_1, x_2, x_3] + \dots$$

Explanation

इस formula में:

• $f(x_0)$ → initial value
• $f[x_0, x_1]$ → first divided difference
• $f[x_0, x_1, x_2]$ → second divided difference
• हर term में $x$ factors बढ़ते जाते हैं

यह polynomial step-by-step build होता है

Example

Given data:

x	y
1	1
2	4
4	16

Find value at $x = 3$

Step 1: Divided Difference Table

First differences:$$f[1,2] = \frac{4-1}{2-1} = 3$$

$$f[2,4] = \frac{16-4}{4-2} = 6$$

Second difference:$$f[1,2,4] = \frac{6-3}{4-1} = 1$$

Step 2: Apply Formula

$$P(x) = 1 + (x-1)(3) + (x-1)(x-2)(1)$$

Step 3: Find value at x = 3

$$P(3) = 1 + (3-1)(3) + (3-1)(3-2)(1)$$

$$= 1 + (2)(3) + (2)(1)$$

$$= 1 + 6 + 2 = 9$$

Final Answer

$$y \approx 9$$

Graphical Understanding

Graph में:

• Unequal data points होते हैं
• Polynomial सभी points को pass करता है
• required value curve से निकाली जाती है

Advantages

• Unequal spacing के लिए best method
• Step-by-step polynomial बनता है
• New data add करने पर पूरा calculation नहीं बदलता

Limitations

• Calculation थोड़ा complex होता है
• Divided difference table बनाना पड़ता है

Important Observation

• यह Lagrange method का alternative है
• Computation में efficient है
• Programming और numerical analysis में widely use होता है

Final Understanding

Newton’s General Interpolation Formula unequal data के लिए सबसे important method है
यह divided differences पर आधारित है
यह polynomial को step-by-step बनाता है
यह exam में सबसे ज्यादा पूछा जाने वाला topic है