Introduction

Linear System of Equations को solve करने के लिए Method of Factorization एक important direct method है। इस method में coefficient matrix को दो matrices के product के रूप में लिखा जाता है।

इस technique को आमतौर पर LU Decomposition Method भी कहा जाता है, क्योंकि इसमें matrix को:

• $L$ (Lower Triangular Matrix)
• $U$ (Upper Triangular Matrix)

में factorize किया जाता है।

यह method खासकर तब बहुत useful होता है जब:

• एक ही matrix के लिए multiple right-hand sides (RHS) हों
• programming या numerical computation करनी हो

Basic Idea

अगर system है:$$AX = B$$

तो हम $A$ को factorize करते हैं:$$A = LU$$

अब equation बनती है:$$LUX = B$$

अब इसे दो steps में solve करते हैं:

1. $LY = B$→ Forward substitution
2. $UX = Y$ → Backward substitution

Matrix Form

मान लो:$$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}$$

तो हम इसे ऐसे लिखेंगे:$$L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{bmatrix} ,\quad U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{bmatrix}$$

Numerical Example (Step-by-Step)

Solve the system:$$2x + 3y = 11$$

$$4x + 7y = 25$$

Step 1: Matrix Form में लिखें

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} ,\quad B = \begin{bmatrix} 11 \\ 25 \end{bmatrix}$$

Step 2: LU Factorization करें

Assume:$$L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{bmatrix} ,\quad U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{bmatrix}$$

अब $A = LU$ multiply करते हैं:

$$LU = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} \end{bmatrix}$$

अब इसे $A$ से compare करें:

• $u_{11} = 2$u
• $u_{12} = 3$u
• $l_{21} \cdot 2 = 4 \Rightarrow l_{21} = 2$
• $2 \cdot 3 + u_{22} = 7 \Rightarrow u_{22} = 1$

Step 3: L और U matrices

$$L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} ,\quad U = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Step 4: Solve $LY = B$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 25 \end{bmatrix}$$

Equations:$$y_1 = 11$$

$$2y_1 + y_2 = 25 \Rightarrow 2(11) + y_2 = 25 \Rightarrow y_2 = 3$$

Step 5: Solve $UX = Y$

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 3 \end{bmatrix}$$

Equations:$$y = 3$$

$$2x + 3y = 11 \Rightarrow 2x + 9 = 11 \Rightarrow x = 1$$

Final Answer

$$x = 1,\quad y = 3$$

Explanation

• पहले matrix को $L$ और $U$ में divide किया
• फिर दो simple systems solve किए
• इससे calculation आसान हो गई

Important Points

• यह direct method है
• large systems के लिए efficient है
• multiple RHS problems में बहुत useful
• programming (especially matrix computation) में use होता है

Conclusion

Method of Factorization एक powerful technique है जिसमें:

• matrix को simpler parts में तोड़ा जाता है
• solving process step-by-step आसान हो जाती है
• numerical analysis में इसका बहुत महत्व है