Introduction

Gauss-Seidel Method एक important iterative method है जिसका उपयोग linear system of equations को solve करने के लिए किया जाता है। यह method Gauss-Jacobi Method का improved version माना जाता है।

इस method में solution एक ही step में नहीं मिलता, बल्कि बार-बार iterations के माध्यम से धीरे-धीरे accurate value प्राप्त की जाती है। इसकी खास बात यह है कि इसमें नई calculated value को तुरंत अगले calculation में use किया जाता है, जिससे convergence तेजी से होता है।

यह method numerical computation और programming implementation में बहुत उपयोगी है, खासकर जब system बड़ा हो।

Basic Idea

मान लो system है:$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$​ $$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$

$$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$

👉 इसे iterative form में लिखते हैं:$$x = \frac{d_1 – b_1y – c_1z}{a_1}$$

$$y = \frac{d_2 – a_2x – c_2z}{b_2}$$

$$z = \frac{d_3 – a_3x – b_3y}{c_3}$$

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Gauss-Seidel का Main Difference

• Jacobi में: सभी नई values old values से निकलती हैं
• Seidel में:
  • पहले $x$ निकालते हैं
  • फिर उसी new $x$ को use करके $y$ निकालते हैं
  • फिर new $x, y$ से $z$ निकालते हैं

👉 इसलिए यह method faster converge करता है

Important Condition (Convergence)

• system diagonally dominant होना चाहिए
• तभी method सही result देगा

Numerical Example (Step-by-Step)

Solve the system:$$10x + y + z = 12$$

$$2x + 10y + z = 13$$

$$2x + 2y + 10z = 14$$

Step 1: Iterative form

$$x = \frac{12 – y – z}{10}$$

$$y = \frac{13 – 2x – z}{10}$$

$$z = \frac{14 – 2x – 2y}{10}$$

Step 2: Initial Guess

$$x_0 = 0,\quad y_0 = 0,\quad z_0 = 0$$

Step 3: First Iteration

पहले $x$:$$x_1 = \frac{12 – 0 – 0}{10} = 1.2$$

अब $y$ (new $x$ use होगा):

$$y_1 = \frac{13 – 2(1.2) – 0}{10} = \frac{10.6}{10} = 1.06$$

अब $z$z (new $x, y$ use होंगे):

$$z_1 = \frac{14 – 2(1.2) – 2(1.06)}{10} = \frac{14 – 2.4 – 2.12}{10} = \frac{9.48}{10} = 0.948$$

Step 4: Second Iteration

अब updated values use करेंगे:$$x_2 = \frac{12 – 1.06 – 0.948}{10} = 0.9992$$

$$y_2 = \frac{13 – 2(0.9992) – 0.948}{10} = 1.0054$$

$$z_2 = \frac{14 – 2(0.9992) – 2(1.0054)}{10} = 0.9990$$

Observation

• values बहुत जल्दी stabilize हो रही हैं
• solution तेजी से converge कर रहा है

Approx solution:$$x \approx 1,\quad y \approx 1,\quad z \approx 1$$

Explanation

• हर step में updated values use की गई
• इसलिए error जल्दी कम हुआ
• यही Gauss-Seidel की सबसे बड़ी strength है

Important Points

• Jacobi से faster convergence
• updated values तुरंत use होती हैं
• diagonally dominant system जरूरी है
• programming में efficient है

Conclusion

Gauss-Seidel Method एक powerful iterative technique है जो:

• जल्दी accurate solution देता है
• large systems के लिए suitable है
• numerical analysis में widely used है