Introduction

Modified Euler’s Method, Euler’s Method का improved version है, जिसका उपयोग differential equations के अधिक accurate approximate solution निकालने के लिए किया जाता है।

Euler’s Method में हम केवल एक बार slope का उपयोग करते हैं, जिससे error बढ़ सकता है। लेकिन Modified Euler’s Method में हम दो बार slope calculate करते हैं — एक शुरुआत में और एक अंत में — और फिर उनका average लेकर next value निकालते हैं।

इस कारण यह method Euler’s Method की तुलना में अधिक accurate होता है।

Basic Idea

Given differential equation:$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

और initial condition:$$y(x_0) = y_0$$

Modified Euler’s Method में दो steps होते हैं:

Step 1: Predictor (Euler जैसा)

$$y^* = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$$

Step 2: Corrector

$$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left[ f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y^*) \right]$$

Working Concept

• पहले Euler Method से अनुमान (predictor) निकालते हैं
• फिर नई slope calculate करते हैं
• दोनों slopes का average लेकर final value निकालते हैं

इसलिए इसे Predictor-Corrector Method भी कहा जाता है

---

Numerical Example (Step-by-Step)

Solve:$$\frac{dy}{dx} = x + y,\quad y(0) = 1$$

Find $y(0.1)$, step size $h = 0.1$

Step 1: Initial values

$$x_0 = 0,\quad y_0 = 1$$

Step 2: Predictor

$$y^* = y_0 + h f(x_0, y_0)$$

$$= 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1$$

Step 3: Corrector

$$y_1 = y_0 + \frac{h}{2} \left[ f(x_0, y_0) + f(x_1, y^*) \right]$$

$$= 1 + \frac{0.1}{2} [ (0+1) + (0.1+1.1) ]$$

$$= 1 + 0.05 [1 + 1.2]$$

$$= 1 + 0.05 \times 2.2 = 1 + 0.11 = 1.11$$

Final Answer

$$y(0.1) \approx 1.11$$

Explanation

• पहले Euler method से initial estimate लिया
• फिर slope को improve किया
• average slope से final value निकाली

इसलिए result Euler Method से ज्यादा accurate आता है

Important Points

• Euler Method से अधिक accurate
• दो बार slope calculate होता है
• Predictor-Corrector approach
• computation थोड़ा ज्यादा होता है

Conclusion

Modified Euler’s Method एक effective numerical technique है:

• accuracy improve करता है
• error कम करता है
• practical problems में useful है