Introduction

Gauss-Jacobi Method एक important iterative method है जिसका उपयोग linear system of equations को solve करने के लिए किया जाता है। यह method direct methods (जैसे Gauss Elimination) से अलग है, क्योंकि इसमें solution एक ही step में नहीं मिलता, बल्कि धीरे-धीरे iterations के माध्यम से approximate किया जाता है।

इस method में हम initial guess (starting values) लेते हैं और बार-बार calculation करके solution को improve करते हैं, जब तक कि required accuracy प्राप्त न हो जाए।

यह method खासकर बड़े systems और programming implementation के लिए बहुत useful होता है।

Basic Idea

मान लो system है:$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$​ $$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$

$$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$

पहले हम equations को इस form में लिखते हैं:$$x = \frac{d_1 – b_1y – c_1z}{a_1}$$

$$y = \frac{d_2 – a_2x – c_2z}{b_2}$$

​ $$z = \frac{d_3 – a_3x – b_3y}{c_3}$$

फिर हर iteration में पुरानी values का use करके नई values निकालते हैं

Important Condition (Convergence)

Gauss-Jacobi Method सही result देने के लिए:

• matrix को diagonally dominant होना चाहिए

यानि:$$|a_{ii}| > \text{sum of other elements in row}$$

Numerical Example (Step-by-Step)

Solve the system:$$10x + y + z = 12$$

$$2x + 10y + z = 13$$

$$2x + 2y + 10z = 14$$

Step 1: Convert into iterative form

$$x = \frac{12 – y – z}{10}$$

$$y = \frac{13 – 2x – z}{10}$$

$$z = \frac{14 – 2x – 2y}{10}$$

Step 2: Initial Guess लें

मान लेते हैं:$$x_0 = 0,\quad y_0 = 0,\quad z_0 = 0$$

Step 3: First Iteration

$$x_1 = \frac{12 – 0 – 0}{10} = 1.2$$

$$y_1 = \frac{13 – 2(0) – 0}{10} = 1.3$$

$$z_1 = \frac{14 – 2(0) – 2(0)}{10} = 1.4$$

Step 4: Second Iteration

अब previous values use करेंगे:

$$x_2 = \frac{12 – 1.3 – 1.4}{10} = \frac{9.3}{10} = 0.93$$

$$y_2 = \frac{13 – 2(1.2) – 1.4}{10} = \frac{9.2}{10} = 0.92$$

$$z_2 = \frac{14 – 2(1.2) – 2(1.3)}{10} = \frac{9}{10} = 0.9$$

Step 5: Third Iteration (एक और step)

$$x_3 = \frac{12 – 0.92 – 0.9}{10} = 1.018$$

$$y_3 = \frac{13 – 2(0.93) – 0.9}{10} = 1.024$$

$$z_3 = \frac{14 – 2(0.93) – 2(0.92)}{10} = 1.032$$

Observation

• values धीरे-धीरे stabilize हो रही हैं
• solution converge कर रहा है

Approx solution:

$$x \approx 1,\quad y \approx 1,\quad z \approx 1$$

Explanation

• हर iteration में पुरानी values का use किया गया
• सभी variables को एक साथ update किया गया
• यही Jacobi method की खास बात है

Important Points

• यह iterative method है
• initial guess जरूरी होता है
• convergence condition important है
• programming में आसानी से implement होता है

Conclusion

Gauss-Jacobi Method एक simple और effective iterative technique है:

• large systems के लिए useful
• धीरे-धीरे accurate solution देता है
• numerical computation में widely used है