Overview (समझने की शुरुआत)
Set Theory में Cartesian Product का उपयोग दो sets के elements को pair (जोड़ी) के रूप में combine करने के लिए किया जाता है।
इसमें हर element को दूसरे set के हर element के साथ जोड़ा जाता है, जिससे ordered pairs बनते हैं।
Meaning (अर्थ)
अगर दो sets A और B दिए हों, तो उनका Cartesian Product उन सभी ordered pairs का set होता है, जिनमें पहला element A से और दूसरा element B से लिया जाता है।
Mathematical Representation
A × B = { (a, b) | a ∈ A और b ∈ B }
Key Idea
Cartesian Product में order बहुत important होता है
(a, b) और (b, a) अलग-अलग होते हैं
Example 1
मान लें:
A = {1, 2}
B = {x, y}
Result
A × B = { (1, x), (1, y), (2, x), (2, y) }
Explanation
• A का 1, B के x और y दोनों के साथ pair बनेगा
• A का 2, B के x और y दोनों के साथ pair बनेगा
Example 2
मान लें:
A = {a, b}
B = {1, 2, 3}
Result
A × B = {
(a,1), (a,2), (a,3),
(b,1), (b,2), (b,3)
}
Size of Cartesian Product
अगर:
n(A) = m
n(B) = n
तो:
n(A × B) = m × n
Example
A = {1, 2, 3} → n(A) = 3
B = {x, y} → n(B) = 2
तो:
n(A × B) = 3 × 2 = 6
Reverse Case
Cartesian Product में order change करने से result भी change हो जाता है
Example
A × B ≠ B × A
A = {1, 2}
B = {x, y}
A × B = { (1,x), (1,y), (2,x), (2,y) }
B × A = { (x,1), (x,2), (y,1), (y,2) }
Special Case
अगर किसी set में कोई element नहीं है:
A = ∅
तो:
A × B = ∅
Real Understanding
Cartesian Product का मतलब है:
हर element को दूसरे set के हर element के साथ जोड़ना
यह relation और function के concepts की foundation है
Short Answer
Cartesian Product दो sets A और B के ordered pairs का set होता है, जिसमें पहला element A से और दूसरा B से लिया जाता है। इसे A × B से दर्शाया जाता है।