Differentiation (अवकलन)

Starting Idea (शुरुआती समझ)

Differential Calculus का सबसे पहला और सबसे important topic है Differentiation।
Differentiation का main purpose यह समझना है कि कोई quantity कितनी तेजी से बदल रही है।अगर कोई function $x$ के साथ change हो रहा है, तो differentiation हमें उस change की rate बताता है।
यही कारण है कि differentiation को rate of change का concept भी कहा जाता है।

Basic Meaning (मूल अर्थ)

जब किसी function का derivative निकाला जाता है, तो हम यह पता करते हैं कि independent variable में बहुत छोटे change के कारण function में कितना change हुआ।

सरल शब्दों में:

Differentiation हमें बताता है कि curve किसी particular point पर कितनी तेजी से ऊपर या नीचे जा रही है।

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Definition (परिभाषा)

यदि $y=f(x)$ एक function हो, तो उसका derivative इस प्रकार define किया जाता है:

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

इसे function का derivative या differential coefficient कहते हैं।

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Meaning of $\frac{dy}{dx}$

$$\frac{dy}{dx}$$dxdy​

का अर्थ है:

• $y$ का $x$ के सापेक्ष derivative
• rate of change of $y$ with respect to $x$
• curve की slope at a point

Geometrical Interpretation (ज्यामितीय अर्थ)

अगर किसी curve पर एक point लिया जाए, तो उस point पर tangent की slope ही derivative होती है।

इसलिए differentiation का geometrical meaning है:

Derivative = slope of tangent to the curve at a given point

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Standard Notations of Derivative

Derivative को अलग-अलग forms में लिखा जा सकता है:

$$\frac{dy}{dx}$$ $$f'(x)$$$$y’$$$$D_x(y)$$

ये सब same meaning रखते हैं।

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Example from Daily Life (आसान समझ)

मान लो distance $s$ time $t$ पर depend करता है।
अगर हम $\frac{ds}{dt}$ निकालते हैं, तो यह speed बताता है।

इसी तरह:

• distance का derivative → velocity
• velocity का derivative → acceleration

यही differentiation का real-life use है।

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Fundamental Rules of Differentiation

अब differentiation के basic rules समझते हैं। Exam में यही rules बार-बार use होते हैं।

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1. Derivative of Constant

अगर $y=c$, जहाँ $c$ constant है, तो$$\frac{d}{dx}(c)=0$$

Example

$$\frac{d}{dx}(7)=0$$

$$\frac{d}{dx}(100)=0$$

क्योंकि constant कभी change नहीं होता।

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2. Derivative of $x$

$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Example

अगर $y=x$, तो$$\frac{dy}{dx}=1$$

3. Power Rule

अगर$$y=x^n$$

तो$$\frac{dy}{dx}=n x^{n-1}$$

Example 1

$$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$$dxd​(x2)=2x

Example 2

$$\frac{d}{dx}(x^5)=5x^4$$

Example 3

$$\frac{d}{dx}(x^{-2})=-2x^{-3}$$

यह सबसे important rule है और long numericals में सबसे ज्यादा use होता है।

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4. Derivative of Sum Rule

अगर$$y=u+v$$

तो$$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$$

Example

$$\frac{d}{dx}(x^2+3x)=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(3x)$$

$$=2x+3$$

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5. Derivative of Difference Rule

अगर$$y=u-v$$

तो$$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}-\frac{dv}{dx}$$

Example

$$\frac{d}{dx}(x^3-2x)=3x^2-2$$

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6. Constant Multiple Rule

अगर$$y=c \cdot u$$

तो$$\frac{dy}{dx}=c\frac{du}{dx}$$

Example

$$\frac{d}{dx}(5x^3)=5\frac{d}{dx}(x^3)=5(3x^2)=15x^2$$

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Product Rule

जब दो functions multiply हो रहे हों, तब simple power rule नहीं चलेगा। वहाँ product rule use होता है।

अगर$$y=u \cdot v$$

तो$$\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$

Example

$$y=x^2 \sin x$$

यहाँ$$u=x^2,\quad v=\sin x$$

तो$$\frac{dy}{dx}=x^2(\cos x)+\sin x(2x)$$

$$\frac{dy}{dx}=x^2\cos x+2x\sin x$$

Quotient Rule

जब एक function दूसरे function से divide हो, तब quotient rule use होता है।

अगर$$y=\frac{u}{v}$$

तो$$\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$$

Example

$$y=\frac{x^2+1}{x}$$

यहाँ$$u=x^2+1,\quad v=x$$

तो$$\frac{du}{dx}=2x,\quad \frac{dv}{dx}=1$$

अब,$$\frac{dy}{dx}=\frac{x(2x)-(x^2+1)(1)}{x^2}$$$$=\frac{2x^2-x^2-1}{x^2}$$

$$=\frac{x^2-1}{x^2}$$

Chain Rule

जब एक function दूसरे function के अंदर हो, तब chain rule use होता है।

अगर$$y=f(g(x))$$

तो$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

Example

$$y=(3x+1)^5$$

मान लो$$u=3x+1$$

तो$$y=u^5$$

अब,$$\frac{dy}{du}=5u^4$$

और$$\frac{du}{dx}=3$$

इसलिए$$\frac{dy}{dx}=5u^4\cdot 3$$

$$=15(3x+1)^4$$

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Derivatives of Standard Functions

कुछ standard derivatives हमेशा याद रखने चाहिए।

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1. Trigonometric Functions

$$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$$$$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$$$$\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x$$$$\frac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^2 x$$$$\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x \tan x$$$$\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x \cot x$$

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2. Exponential Functions

$$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$$$\frac{d}{dx}(a^x)=a^x \log a$$

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3. Logarithmic Functions

$$\frac{d}{dx}(\log x)=\frac{1}{x}$$​ $$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$$

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Worked Examples

अब कुछ exam-type examples देखते हैं।

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Example 1

Differentiate:$$y=4x^3+2x^2-5x+7$$

Solution

$$\frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}(x^3)+2\frac{d}{dx}(x^2)-5\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(7)$$$$=4(3x^2)+2(2x)-5(1)+0$$$$=12x^2+4x-5$$

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Example 2

Differentiate:$$y=\frac{x^2+3}{x}$$

Solution

पहले simplify भी कर सकते हैं:$$y=x+\frac{3}{x}$$$$y=x+3x^{-1}$$

अब differentiate करें:$$\frac{dy}{dx}=1+3(-1)x^{-2}$$$$=1-\frac{3}{x^2}$$

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Example 3

Differentiate:$$y=(x^2+1)^3$$

Solution

Chain rule use करेंगे:$$u=x^2+1$$$$y=u^3$$

तो$$\frac{dy}{du}=3u^2$$$$\frac{du}{dx}=2x$$

इसलिए$$\frac{dy}{dx}=3u^2\cdot 2x$$$$=6x(x^2+1)^2$$

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Why Differentiation is Important

Differentiation पूरे calculus की backbone है। आगे आने वाले almost सभी topics इसी पर depend करते हैं, जैसे:

• Tangent and Normal
• Maximum and Minimum
• Rate of Change
• Curvature
• Applications of Differentiation

अगर differentiation clear है, तो पूरा module आसान हो जाता है।

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Final Understanding

Differentiation का मतलब किसी function के change की rate निकालना है।
यह slope, motion, optimization और curve analysis में बहुत useful होता है।

Exam point of view से student को:

• basic derivative rules
• product rule
• quotient rule
• chain rule
• standard derivatives

अच्छी तरह आने चाहिए।

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Short Answer

Differentiation वह process है, जिसके द्वारा किसी function के change की rate निकाली जाती है। यदि $y=f(x)$उसका derivative $\frac{dy}{dx}$ कहलाता है। यह slope of tangent और rate of change को दर्शाता है।