Leibnitz Theorem (लाइबनिट्ज प्रमेय)

Starting Idea (शुरुआती समझ)

जब हमें दो functions के product का higher order derivative (बार-बार differentiation) निकालना होता है, तब बार-बार product rule लगाना बहुत लंबा और complex हो जाता है।

इसी problem को आसान बनाने के लिए Leibnitz Theorem का उपयोग किया जाता है।

यह theorem हमें सीधे formula की मदद से nth derivative of product of two functions निकालने में मदद करता है।

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Basic Meaning (मूल अर्थ)

Leibnitz Theorem का उपयोग तब होता है जब:$$y = u \cdot v$$

और हमें इसका $n^{th}$ derivative निकालना हो।

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Statement of Leibnitz Theorem

यदि$$y = u \cdot v$$

तो$$\frac{d^n}{dx^n}(u \cdot v) = u \cdot \frac{d^n v}{dx^n} + n \cdot \frac{du}{dx} \cdot \frac{d^{n-1} v}{dx^{n-1}} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{d^2 u}{dx^2} \cdot \frac{d^{n-2} v}{dx^{n-2}} + \cdots + \frac{d^n u}{dx^n} \cdot v$$

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Simplified Form

इसे short form में इस तरह भी लिखा जाता है:$$\frac{d^n}{dx^n}(u v) = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} \frac{d^{n-r}u}{dx^{n-r}} \cdot \frac{d^{r}v}{dx^{r}}$$

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Understanding (समझिए)

इस formula में:

• $n$ = कितनी बार differentiation करना है
• हर term में $u$ और $v$ के derivatives का combination होता है
• coefficients binomial expansion जैसे होते हैं

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Example 1

Find second derivative of:$$y = x \cdot e^x$$

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Step 1: Identify

$$u = x, \quad v = e^x$$

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Step 2: Apply Leibnitz for n = 2

$$\frac{d^2}{dx^2}(uv) = u \cdot v” + 2u’ \cdot v’ + u” \cdot v$$

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Step 3: Derivatives

$$u = x,\quad u’ = 1,\quad u” = 0$$$$v = e^x,\quad v’ = e^x,\quad v” = e^x$$

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Step 4: Substitute

$$= x(e^x) + 2(1)(e^x) + 0(e^x)$$

$$= x e^x + 2 e^x$$

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Final Answer

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x (x + 2)$$

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Example 2

Find third derivative of:$$y = x^2 \cdot \sin x$$

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Step 1: Identify

$$u = x^2,\quad v = \sin x$$

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Step 2: Leibnitz for n = 3

$$\frac{d^3}{dx^3}(uv) = u v”’ + 3u’ v” + 3u” v’ + u”’ v$$

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Step 3: Derivatives

$$u = x^2,\quad u’ = 2x,\quad u” = 2,\quad u”’ = 0$$

$$v = \sin x,\quad v’ = \cos x,\quad v” = -\sin x,\quad v”’ = -\cos x$$

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Step 4: Substitute

$$= x^2(-\cos x) + 3(2x)(-\sin x) + 3(2)(\cos x) + 0$$

$$= -x^2 \cos x – 6x \sin x + 6 \cos x$$

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Understanding

Leibnitz theorem में pattern binomial expansion जैसा होता है:

$$(1 + 1)^n$$

के coefficients की तरह terms आते हैं।

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Where It Is Used

Leibnitz Theorem का उपयोग mainly इन cases में होता है:

• Higher order derivatives
• Product of functions
• Trigonometric और exponential combinations
• Long numerical questions

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Final Understanding

Leibnitz Theorem higher order differentiation को आसान बनाता है।
यह बार-बार product rule लगाने की जरूरत को खत्म कर देता है और direct formula देता है।

यह exam में long questions के लिए बहुत useful होता है।

Short Answer

Leibnitz Theorem का उपयोग दो functions के product के nth derivative निकालने के लिए किया जाता है। यदि $y = uv$, तो उसका nth derivative binomial coefficient के साथ terms के sum के रूप में निकाला जाता है।