Maximum & Minimum (Second Derivative Test)(अधिकतम और न्यूनतम मान)

Starting Idea (शुरुआती समझ)

Differentiation का एक बहुत important application है किसी function का maximum (अधिकतम) और minimum (न्यूनतम) value निकालना।

Real life में भी कई problems ऐसे होते हैं जहाँ हमें highest या lowest value निकालनी होती है, जैसे profit maximum करना, cost minimum करना आदि।

Mathematics में यह काम derivative की मदद से किया जाता है। इस topic में हम खासकर Second Derivative Test का उपयोग करेंगे।

Basic Meaning (मूल अर्थ)

Maximum का मतलब है function का सबसे बड़ा value
Minimum का मतलब है function का सबसे छोटा value

Concept (समझिए)

जब किसी function का slope (derivative) zero हो जाता है, तो वहाँ curve का direction change होता है।
ऐसे points को critical points कहते हैं।

Step by Step Method

Maximum या minimum निकालने के लिए:

Step 1

First derivative निकालें$$\frac{dy}{dx}$$

Step 2

First derivative को zero के बराबर करें$$\frac{dy}{dx} = 0$$

इससे critical points मिलेंगे

Step 3

Second derivative निकालें$$\frac{d^2y}{dx^2}$$

Step 4 (Second Derivative Test)

• यदि $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$​ → Minimum

• यदि $\frac{d^2y}{dx^2} < 0$ → Maximum

• यदि $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ → Test fails

Example 1

Find maximum or minimum of:$$y = x^2 – 4x + 5$$

Step 1: First derivative

$$\frac{dy}{dx} = 2x – 4$$

Step 2: Set = 0

$$2x – 4 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Step 3: Second derivative

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 2$$

Step 4: Test

$$2 > 0$$

Result

Minimum value at x = 2

Minimum Value

$$y = (2)^2 – 4(2) + 5 = 1$$

Example 2

Find maximum or minimum of:$$y = -x^2 + 4x + 1$$

Step 1: First derivative

$$\frac{dy}{dx} = -2x + 4$$

Step 2: Set = 0

$$-2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Step 3: Second derivative

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -2$$

Step 4: Test

$$-2 < 0$$

Result

Maximum value at x = 2

Maximum Value

$$y = -(2)^2 + 4(2) + 1 = 5$$

Important Points

• First derivative zero होने पर critical point मिलता है
• Second derivative से nature (max/min) पता चलता है
• Positive → minimum
• Negative → maximum

When Second Derivative = 0

अगर$$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$$

तो हमें higher derivative test या first derivative sign change method use करना पड़ता है

Example 3

$$y = x^3$$

First derivative

$$\frac{dy}{dx} = 3x^2$$$$= 0 \Rightarrow x = 0$$

Second derivative

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x$$

x = 0 पर:$$= 0$$

Understanding

यहाँ test fail हो गया
यह point neither max nor min है

Final Understanding

Maximum और Minimum निकालने के लिए derivative का उपयोग किया जाता है।
Second Derivative Test सबसे आसान तरीका है जिससे हम critical point का nature पता कर सकते हैं।

यह topic exam में बहुत important है और इसमें direct numerical questions आते हैं।

Short Answer

किसी function का maximum या minimum निकालने के लिए पहले derivative को zero किया जाता है और फिर second derivative से यह निर्धारित किया जाता है कि वह point maximum है या minimum।