Introduction
Cartesian Product पढ़ने के बाद अगला natural step है यह समझना कि elements आपस में किस प्रकार जुड़े होते हैं।
जब हम दो sets के elements के बीच connection बनाते हैं, तो उसे Relation कहते हैं।
और जब यह connection एक विशेष नियम को follow करता है, तो वह Function बन जाता है।
1. Relation (संबंध)
Basic Meaning
Relation दो sets के बीच एक link या connection होता है, जो ordered pairs के रूप में व्यक्त किया जाता है।
Formal Definition
यदि A और B दो sets हैं, तो A × B के किसी भी subset को Relation कहते हैं।
Representation
R ⊆ A × B
Example
मान लें:
A = {1, 2}
B = {a, b}
Cartesian Product:
A × B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b) }
अब एक relation लें:
R = { (1,a), (2,b) }
Understanding
यह relation A के कुछ elements को B के कुछ elements से जोड़ता है।
हर possible pair relation में होना जरूरी नहीं है।
Another Example
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3}
Relation: “is divisible by”
R = { (2,1), (4,1), (4,2), (6,1), (6,2), (6,3) }
Key Point
Relation में एक element कई elements से जुड़ सकता है और कुछ elements बिल्कुल भी जुड़े न हों, यह भी possible है।
2. Function (फलन)
Basic Meaning
Function relation का special form है, जिसमें हर input का केवल एक ही output होता है।
Definition
यदि A से B तक एक relation ऐसा है, जिसमें A के हर element का exactly एक ही image B में हो, तो उसे Function कहते हैं।
Representation
f: A → B
Example 1
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
f = { (1,a), (2,b), (3,c) }
Understanding
• हर element का एक ही output है
• कोई element missing नहीं है
इसलिए यह function है
Example 2 (Not a Function)
A = {1, 2}
B = {x, y}
f = { (1,x), (1,y), (2,x) }
Understanding
यह function नहीं है क्योंकि
1 का दो output हैं (x और y)
Important Difference
Relation में:
• एक element कई outputs दे सकता है
Function में:
• हर element का केवल एक output होता है
Domain and Range
Domain
Input set (जहाँ से elements आते हैं)
Range
Actual outputs का set
Example
f = { (1,2), (2,4), (3,6) }
Domain = {1, 2, 3}
Range = {2, 4, 6}
Types of Functions(फलनों के प्रकार)
(i). One-One Function (Injective Function)
Meaning
जब domain के अलग-अलग elements के outputs भी अलग-अलग हों, तब function को One-One कहते हैं।
Idea
अगर
a ≠ b,
तो f(a) ≠ f(b)
Example
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
f = { (1,a), (2,b), (3,c) }
Understanding
यहाँ हर input का अलग output है।
कोई दो inputs same output नहीं दे रहे।
इसलिए यह One-One function है।
(iI). Many-One Function
Meaning
जब domain के दो या अधिक elements एक ही output दें, तब function को Many-One कहते हैं।
Example
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
f = { (1,a), (2,a), (3,b) }
Understanding
यहाँ 1 और 2 दोनों का output a है।
मतलब कई inputs एक output दे रहे हैं।
इसलिए यह Many-One function है।
(III). Onto Function (Surjective Function)
Meaning
जब codomain का हर element कम से कम एक बार output के रूप में आए, तब function को Onto कहते हैं।
Example
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
f = { (1,a), (2,b), (3,a) }
Understanding
Codomain B के दोनों elements a और b output के रूप में आ रहे हैं।
इसलिए यह Onto function है।
(iV). Into Function
Meaning
जब codomain के कुछ elements output के रूप में use न हों, तब function को Into कहते हैं।
Example
A = {1, 2}
B = {a, b, c}
f = { (1,a), (2,b) }
Understanding
यहाँ codomain का element c कभी output के रूप में नहीं आया।
इसलिए यह Into function है।
(V). Bijective Function
Meaning
जो function एक साथ One-One भी हो और Onto भी हो, उसे Bijective Function कहते हैं।
Example
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
f = { (1,a), (2,b), (3,c) }
Understanding
• हर input का अलग output है
• codomain का हर element cover हो रहा है
इसलिए यह Bijective function है।
(VI). Constant Function
Meaning
जब domain के सभी elements का output same हो, तब function को Constant Function कहते हैं।
Example
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
f = { (1,a), (2,a), (3,a) }
Understanding
हर input का output a है।
इसलिए यह Constant function है।
(VII). Identity Function
Meaning
जब किसी set का हर element उसी पर map हो, तब उसे Identity Function कहते हैं।
Representation
f(x) = x
Example
A = {1, 2, 3}
f = { (1,1), (2,2), (3,3) }
Understanding
हर element अपनी ही image दे रहा है।
इसलिए यह Identity function है।
(VIII). One-One Into Function
Meaning
जब function one-one हो लेकिन onto न हो, तब उसे One-One Into कहते हैं।
Example
A = {1, 2}
B = {a, b, c}
f = { (1,a), (2,b) }
Understanding
• अलग-अलग inputs के अलग outputs हैं
• लेकिन codomain का c cover नहीं हुआ
इसलिए यह One-One Into function है।
(iX). Many-One Onto Function
Meaning
जब function many-one हो और साथ ही codomain के सभी elements cover करे, तब उसे Many-One Onto कहते हैं।
Example
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
f = { (1,a), (2,a), (3,b) }
Understanding
• 1 और 2 दोनों a दे रहे हैं, इसलिए many-one
• a और b दोनों cover हो रहे हैं, इसलिए onto
इसलिए यह Many-One Onto function है।
Real Understanding
Relation सिर्फ connection है
Function एक controlled connection है
हर function relation होता है
लेकिन हर relation function नहीं होता
Short Answer
Relation दो sets के elements के बीच ordered pairs का set होता है, जबकि Function एक special relation है जिसमें हर element का exactly एक output होता है।