Tangent and Normal (स्पर्श रेखा और लम्ब रेखा)

Starting Idea (शुरुआती समझ)

Differential Calculus का सबसे important application है Tangent और Normal

जब हम किसी curve को graph पर draw करते हैं, तो हर point पर curve की एक direction (ढलान) होती है। उस point पर जो सीधी रेखा curve को touch करती है और उसी direction में चलती है, उसे Tangent कहते हैं।

इसी point पर एक दूसरी रेखा होती है जो tangent के perpendicular होती है, उसे Normal कहते हैं।

इस concept का use geometry, physics, engineering और optimization problems में होता है। Exam में भी इस topic से direct numerical questions आते हैं, इसलिए इसे अच्छे से समझना जरूरी है।

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1. Tangent (स्पर्श रेखा)

Concept (समझिए)

Tangent वह सीधी रेखा होती है जो curve को किसी point पर छूती है और उसी point पर curve की direction को follow करती है।

Important Idea

Tangent की slope = उस point पर derivative$$m = \frac{dy}{dx}$$

Equation of Tangent

अगर point $(x_1, y_1)$ दिया हो, तो tangent की equation:$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

जहाँ $m = \frac{dy}{dx}$​ at that point

Example 1

Find the equation of tangent to the curve:$$y = x^2$$

at point (1,1)

Step 1: Derivative निकालें

$$\frac{dy}{dx} = 2x$$

Step 2: Slope निकालें

x = 1 पर:$$m = 2(1) = 2$$

Step 3: Equation लगाएँ

$$y – 1 = 2(x – 1)$$

Final Answer

$$y = 2x – 1$$

2. Normal (लम्ब रेखा)

Concept (समझिए)

Normal वह रेखा होती है जो tangent के perpendicular होती है और उसी point से गुजरती है।

Important Idea

Normal की slope:$$m_n = -\frac{1}{m}$$

जहाँ $m$ tangent की slope है

Equation of Normal

$$y – y_1 = m_n (x – x_1)$$

Example 2

उसी curve के लिए:$$y = x^2$$

Point: (1,1)

Step 1: Tangent slope

$$m = 2$$

Step 2: Normal slope

$$m_n = -\frac{1}{2}$$

Step 3: Equation

$$y – 1 = -\frac{1}{2}(x – 1)$$

Final Answer

$$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$$

Example 3

Find tangent and normal to:$$y = x^3$$

at point (1,1)

Step 1: Derivative

$$\frac{dy}{dx} = 3x^2$$

Step 2: Slope

x = 1 पर:$$m = 3$$

Tangent

$$y – 1 = 3(x – 1)$$

$$y = 3x – 2$$

Normal

$$m_n = -\frac{1}{3}$$

$$y – 1 = -\frac{1}{3}(x – 1)$$

Important Points

• Tangent हमेशा curve को touch करती है
• Tangent की slope = derivative
• Normal हमेशा tangent के perpendicular होती है
• Tangent और Normal दोनों same point से गुजरती हैं

Final Understanding

Tangent curve की direction को show करता है, जबकि Normal उस direction के perpendicular होता है।
Differentiation की मदद से हम किसी भी point पर इन दोनों की equation आसानी से निकाल सकते हैं।

Exam में यह topic बहुत important है और इसमें direct numerical questions आते हैं।

Short Answer

Tangent वह रेखा है जो curve को किसी point पर छूती है और उसकी slope उस point पर derivative के बराबर होती है। Normal वह रेखा है जो tangent के perpendicular होती है और उसी point से गुजरती है।