Introduction

जब interpolation point data table के center के पास होता है, तब Newton Forward और Backward formulas उतने effective नहीं होते।

इस स्थिति में हम Gauss’s Central Difference Formula का उपयोग करते हैं, जो central differences पर आधारित है और अधिक accurate result देता है।

Basic Idea

मान लें कि data equally spaced है:$$x_0, x_1, x_2, x_3, x_4$$

और हमें value $x$ के लिए निकालनी है जो center के पास है

तो हम central point $x_0$​ choose करते हैं (middle value)

Notation

$$u = \frac{x – x_0}{h}$$

जहाँ:

• $h$ = interval
• $x_0$​ = central value

Gauss Forward Formula

$$y = y_0 + u\Delta y_0 + \frac{u(u-1)}{2!}\Delta^2 y_{-1} + \frac{u(u-1)(u-2)}{3!}\Delta^3 y_{-1} + \frac{u(u-1)(u-2)(u-3)}{4!}\Delta^4 y_{-2} + \dots$$

Explanation

इस formula में:

• $y_0$​ → central value
• $\Delta y_0$​ → forward difference
• $\Delta^2 y_{-1}$ → previous index difference
• terms alternate होते हैं center के आसपास

👉 यही Gauss formula को Newton से अलग बनाता है

Gauss Backward Formula

$$y = y_0 + u\nabla y_0 + \frac{u(u+1)}{2!}\nabla^2 y_1 + \frac{u(u+1)(u+2)}{3!}\nabla^3 y_1 + \dots$$

कब कौन सा use करें

• Forward form → जब value center के थोड़ा right हो
• Backward form → जब value center के थोड़ा left हो

Example

x	y
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125

Find value at $x = 2.5$

Step 1: Choose center

$$x_0 = 3,\quad h = 1$$

$$u = \frac{2.5 – 3}{1} = -0.5$$

Step 2: Difference Table

x	y	Δy	Δ²y	Δ³y
1	1	7	12	6
2	8	19	18	6
3	27	37	24
4	64	61
5	125

Step 3: Apply Formula

$$y \approx 15.625$$

Graphical Understanding

Graph में:

• center point से interpolation होता है
• दोनों तरफ के points use होते हैं
• curve best fit देता है center के आसपास

Advantages

• center values के लिए सबसे accurate
• symmetric data use करता है
• error कम होता है

Limitations

• only equal interval data के लिए
• difference table बनाना जरूरी
• थोड़ा complex calculation

Final Understanding

Gauss formula central difference पर आधारित है
यह middle values के लिए best method है
यह Newton formulas का improved version है
यह exam में बहुत important numerical देता है