Angle Between Two Curves (दो वक्रों के बीच का कोण)

Starting Idea (शुरुआती समझ)

जब दो curves किसी point पर एक-दूसरे को काटते हैं, तो उनके बीच एक angle बनता है।
इस angle को ही Angle Between Two Curves कहा जाता है।

इस concept को समझने के लिए हमें यह जानना जरूरी है कि किसी curve की direction उस point पर उसके tangent की slope से पता चलती है।

इसलिए, दो curves के बीच का angle actually उनके tangents के बीच का angle होता है।

Basic Meaning (मूल अर्थ)

दो curves के बीच का angle = उनके tangents के बीच का angle (at point of intersection)

Formula

यदि दो curves की slopes उस point पर $m_1$​ और $m_2$​ हैं, तो उनके बीच angle $\theta$:

$$\tan \theta = \left| \frac{m_1 – m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$

Important Idea

• $m_1$= first curve का derivative
• $m_2$​ = second curve का derivative

दोनों slopes उसी point पर calculate की जाती हैं जहाँ curves intersect करते हैं।

Steps to Solve

1. दोनों curves को differentiate करें
2. intersection point निकालें
3. उस point पर slopes $m_1, m_2$ निकालें
4. formula में value put करें

Example 1

Find angle between curves:$$y = x^2 \quad \text{and} \quad y = x$$

at point of intersection

Step 1: Intersection Point

$$x^2 = x$$

$$x(x – 1) = 0$$

$$x = 0 \text{ or } x = 1$$

मान लेते हैं point (0,0)

Step 2: Derivatives

Curve 1:$$\frac{dy}{dx} = 2x$$

Curve 2:$$\frac{dy}{dx} = 1$$

Step 3: Slopes at (0,0)

$$m_1 = 0,\quad m_2 = 1$$

Step 4: Formula apply करें

$$\tan \theta = \left| \frac{0 – 1}{1 + (0)(1)} \right|$$

$$= 1$$

Final Answer

$$\theta = 45^\circ$$

Example 2

Find angle between:$$y = x^2 \quad \text{and} \quad y = -x^2$$

at x = 1

Step 1: Derivatives

Curve 1:$$\frac{dy}{dx} = 2x$$

Curve 2:$$\frac{dy}{dx} = -2x$$

Step 2: Slopes at x = 1

$$m_1 = 2,\quad m_2 = -2$$

Step 3: Formula

$$\tan \theta = \left| \frac{2 – (-2)}{1 + (2)(-2)} \right|$$

$$= \left| \frac{4}{1 – 4} \right| = \frac{4}{3}$$

Final Answer

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$$

Special Case

अगर$$m_1 \cdot m_2 = -1$$

तो curves एक-दूसरे के perpendicular होते हैं$$\theta = 90^\circ$$

Understanding

Angle निकालने के लिए directly curves नहीं, बल्कि उनके tangents का उपयोग किया जाता है।
इसलिए पहले derivative निकालना सबसे important step होता है।

Final Understanding

दो curves के बीच का angle निकालने के लिए उनके slopes का उपयोग किया जाता है।
यह topic पूरी तरह derivative पर based है और exam में direct numerical questions आते हैं।

Short Answer

दो curves के बीच का angle उनके tangents के बीच का angle होता है, जिसे $\tan \theta = \left| \frac{m_1 – m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$​​ से निकाला जाता है।