Introduction

Method of False Position एक bracketing method है, जैसे Bisection Method, लेकिन यह उससे ज्यादा efficient होता है।

इस method में हम interval को simply divide नहीं करते, बल्कि linear interpolation का उपयोग करके root का बेहतर approximation निकालते हैं।

Basic Idea

मान लें कि equation है:$$f(x) = 0$$

और interval $[a, b]$ ऐसा है कि:$$f(a) \cdot f(b) < 0$$

तो root इस interval में मौजूद होगा।

अब Bisection Method की तरह midpoint लेने के बजाय, हम एक नई value $c$ निकालते हैं:

$$c = \frac{a f(b) – b f(a)}{f(b) – f(a)}$$

Explanation

यह formula actually दो points $(a, f(a))$ और $(b, f(b))$को जोड़ने वाली straight line का x-intercept निकालता है।

इसका मतलब:
हम curve की जगह straight line assume करके root का better approximation निकालते हैं।

Algorithm

Step 1:
Initial interval $[a, b]$ choose करें ऐसा कि$$f(a) \cdot f(b) < 0$$

Step 2:
Calculate करें:$$c = \frac{a f(b) – b f(a)}{f(b) – f(a)}$$

Step 3:
$f(c)$ निकालें

Step 4:

• यदि $f(a) \cdot f(c) < 0$, तो नया interval $[a, c]$
• अन्यथा नया interval $[c, b]$

Step 5:
Process repeat करें जब तक desired accuracy न मिल जाए

Example

Solve:$$f(x) = x^3 – x – 2 = 0$$

Step 1: Initial values

$$a = 1,\quad b = 2$$

$$f(1) = -2,\quad f(2) = 4$$

Step 2: First approximation

$$c = \frac{1 \cdot 4 – 2 \cdot (-2)}{4 – (-2)} = \frac{4 + 4}{6} = 1.333$$

$$f(1.333) \approx -0.963$$

अब$$f(a)\cdot f(c) < 0$$

New interval: $[1.333, 2]$

Step 3: Second approximation

$$c = \frac{1.333 \cdot 4 – 2 \cdot (-0.963)}{4 – (-0.963)} \approx 1.462$$

$$f(1.462) \approx -0.333$$

New interval: $[1.462, 2]$

Step 4: Continue

इसी तरह आगे iteration करते रहेंगे

Final root लगभग होगा:$$x \approx 1.521$$

Iteration Table

Iteration	a	b	c	f(c)	New Interval
1	1.0	2.0	1.333	-0.963	[1.333, 2]
2	1.333	2.0	1.462	-0.333	[1.462, 2]
3	1.462	2.0	1.504	-0.101	[1.504, 2]
4	1.504	2.0	1.517	-0.028	[1.517, 2]
5	1.517	2.0	1.521	≈ 0	Root Found

Graph में:

• Curve $y = f(x)$ draw करते हैं
• Points $(a, f(a))$ और $(b, f(b))$ को join करते हैं
• यह straight line x-axis को जहाँ काटती है, वही $c$ होता है

यह process repeat करके root के करीब पहुंचते हैं।

Advantages

Bisection Method से faster है
Simple और reliable method है
Bracketing होने की वजह से root guaranteed मिलता है

Limitations

कुछ cases में convergence slow हो सकता है
हर iteration में एक end fix रह सकता है

Final Understanding

False Position Method linear interpolation पर आधारित है
यह Bisection Method का improved version है
यह curve की जगह secant line का उपयोग करता है
यह method faster convergence देता है