Introduction

Iteration Method का उपयोग उन equations के approximate root निकालने के लिए किया जाता है जिन्हें सीधे algebraic method से solve करना कठिन होता है।

इस method में equation $f(x)=0$ को इस रूप में बदला जाता है:

$$x = g(x)$$

फिर एक initial approximation लेकर successive values निकाली जाती हैं।

Example

Solve the equation:$$x^3 – x – 2 = 0$$

Step 1: Equation को iterative form में बदलें

Given equation है:$$x^3 – x – 2 = 0$$

अब इसे rearrange करते हैं:$$x^3 = x + 2$$

दोनों sides का cube root लेने पर:$$x = \sqrt[3]{x+2}$$

यहाँ,$$g(x)=\sqrt[3]{x+2}$$

अब iteration formula होगा:$$x_{n+1}= \sqrt[3]{x_n+2}$$

Step 2: Convergence condition check करें

Iteration Method के converge करने के लिए आवश्यक है कि:

$$|g'(x)|<1$$

अब,$$g(x)=(x+2)^{1/3}$$

Differentiate करने पर:$$g'(x)=\frac{1}{3(x+2)^{2/3}}$$

अब root के आसपास $x \approx 1.5$x≈1.5 रखने पर:

$$g'(1.5)=\frac{1}{3(3.5)^{2/3}}$$

यह value 1 से छोटी होगी, इसलिए method converge करेगा।

Step 3: Initial approximation लें

मान लें:$$x_0=1$$

अब iteration formula use करेंगे:$$x_{n+1}= \sqrt[3]{x_n+2}$$

Step 4: Successive approximations निकालें

First approximation:$$x_1=\sqrt[3]{1+2}=\sqrt[3]{3}=1.442$$

Second approximation:$$x_2=\sqrt[3]{1.442+2}=\sqrt[3]{3.442}=1.509$$

Third approximation:$$x_3=\sqrt[3]{1.509+2}=\sqrt[3]{3.509}=1.519$$

Fourth approximation:$$x_4=\sqrt[3]{1.519+2}=\sqrt[3]{3.519}=1.521$$

Fifth approximation:$$x_5=\sqrt[3]{1.521+2}=\sqrt[3]{3.521}=1.521$$

अब values लगभग same हो रही हैं, इसलिए root होगा:$$x \approx 1.521$$

Iteration Table

Iteration	$x_n$	Calculation	$x_{n+1}$
0	1.000	$\sqrt[3]{1+2}$	1.442
1	1.442	$\sqrt[3]{1.442+2}$	1.509
2	1.509	$\sqrt[3]{1.509+2}$	1.519
3	1.519	$\sqrt[3]{1.519+2}$	1.521
4	1.521	$\sqrt[3]{1.521+2}$	1.521

Conclusion

इस प्रकार Iteration Method द्वारा equation$$x^3-x-2=0$$

का approximate root है:$$x \approx 1.521$$

Simple Diagram

Iteration Method को graphically इस तरह समझते हैं:

• $y=x$ और $y=g(x)$ का graph बनाते हैं
• जहाँ दोनों curves intersect करते हैं, वही required root होता है
• successive approximations उसी point की ओर बढ़ती हैं