Introduction

Bisection Method एक bracketing method है, जिसका उपयोग किसी equation $f(x) = 0$ का approximate root निकालने के लिए किया जाता है।

इस method का आधार यह है कि यदि किसी interval $[a, b]$ में function का sign change होता है, तो उस interval में कम से कम एक root अवश्य होगा।

Mathematically condition:$$f(a) \cdot f(b) < 0$$

Basic Idea

इस method में हम दिए गए interval को बार-बार दो बराबर भागों में divide करते हैं और उस हिस्से को चुनते हैं जहाँ sign change हो रहा हो।

इस process को तब तक repeat किया जाता है जब तक desired accuracy प्राप्त न हो जाए।

Algorithm (Step-by-Step Procedure)

Step 1:
एक interval $[a, b]$ चुनें ऐसा कि$$f(a) \cdot f(b) < 0$$

Step 2:
Midpoint निकालें:$$c = \frac{a + b}{2}$$

Step 3:
$f(c)$ calculate करें

Step 4:
अब check करें:

• यदि $f(a) \cdot f(c) < 0$, तो root interval $[a, c]$ में है
• अन्यथा root interval $[c, b]$ में है

Step 5:
नए interval के साथ यही process repeat करें

Step 6:
जब तक required accuracy न मिल जाए, process जारी रखें

Example

Equation:$$f(x) = x^3 – x – 2 = 0$$

Step 1: Initial interval

मान लें:
$a = 1$, $b = 2$$$f(1) = 1 – 1 – 2 = -2$$

$$f(2) = 8 – 2 – 2 = 4$$

यहाँ$$f(1) \cdot f(2) < 0$$

इसलिए root interval $[1, 2]$ में है।

Step 2: First Iteration

$$c = \frac{1 + 2}{2} = 1.5$$

$$f(1.5) = (1.5)^3 – 1.5 – 2 = -0.125$$

अब$$f(1) \cdot f(1.5) < 0$$

इसलिए नया interval: $[1, 1.5]$

Step 3: Second Iteration

$$c = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25$$

$$f(1.25) = -0.796875$$

अब भी sign change $[1.25, 1.5]$ में होगा

नया interval: $[1.25, 1.5]$

Step 4: Continue Process

इसी तरह process repeat करते रहेंगे जब तक desired accuracy न मिल जाए।

Final root लगभग होगा:$$x \approx 1.521$$

Graphical Interpretation

Bisection Method में हम उस point को खोजते हैं जहाँ curve x-axis को काटता है।
हर iteration में interval छोटा होता जाता है और root के करीब पहुंचता है।

Bisection Method – Iteration Table

Equation:$$f(x) = x^3 – x – 2$$

Initial Interval:$$a = 1,\quad b = 2$$

Iteration Table

Iteration	a	b	c = (a+b)/2	f(c)	New Interval
1	1.0	2.0	1.5	-0.125	[1.5, 2]
2	1.5	2.0	1.75	1.609	[1.5, 1.75]
3	1.5	1.75	1.625	0.666	[1.5, 1.625]
4	1.5	1.625	1.5625	0.252	[1.5, 1.5625]
5	1.5	1.5625	1.53125	0.059	[1.5, 1.53125]
6	1.5	1.53125	1.515625	-0.034	[1.515625, 1.53125]

Explanation

अब समझो यह table कैसे बना है:

• हर step में midpoint $c$ निकाला गया है
• फिर $f(c)$ calculate किया गया
• फिर sign check किया गया:
  • यदि sign change left side में है → नया interval left
  • नहीं तो right

इस तरह interval धीरे-धीरे छोटा होता जाता है

Final Result

कुछ iterations के बाद root लगभग:$$x \approx 1.52$$

Advantages

यह method बहुत simple और easy to understand है
यह हमेशा converge करता है यदि condition $f(a) \cdot f(b) < 0$ satisfied हो
यह reliable method है

Limitations

यह method slow होता है
हर iteration में accuracy धीरे-धीरे बढ़ती है
Derivative का उपयोग नहीं करता, इसलिए fast methods से कम efficient है

Final Understanding

Bisection Method interval को बार-बार divide करके root निकालता है
यह sign change principle पर आधारित है
यह method guaranteed convergence देता है
यह beginner-friendly और exam में बहुत important method है