Composition of Functions(फलनों का संयोजन)

Starting Idea (शुरुआती समझ)

जब हमारे पास दो functions होते हैं, तो कई बार हम एक function के output को दूसरे function के input के रूप में use करते हैं। इसी process को Composition of Functions कहते हैं।

सरल शब्दों में, एक function के बाद दूसरे function को apply करना ही composition है।

Basic Meaning

अगर पहले function $g$ apply किया जाए और उसके बाद function $f$, तो resulting function को composition of functions कहते हैं।

इसे इस प्रकार लिखा जाता है:$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$इसे पढ़ते हैं:
“f composed with G”

Definition

यदि $f: B \to C$ और $g: A \to B$ दो functions हों, तो उनका composition $f \circ g$ एक function होता है जो $A$ से $C$ में map करता है, और$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$

Important Condition

Composition तभी possible होता है जब पहले function का output, दूसरे function के domain में आता हो।

मतलब:
$g$ का codomain = $f$ का domain होना चाहिए (या कम से कम उसमें शामिल होना चाहिए)

Example 1

मान लें:$$g(x) = x + 1$$

$$f(x) = 2x$$

अब,$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$

पहले $g(x)$ निकालेंगे:$$g(x) = x + 1$$

अब इसे $f$ में put करेंगे:$$f(g(x)) = f(x+1) = 2(x+1) = 2x + 2$$

Result

$$(f \circ g)(x) = 2x + 2$$

Understanding

यहाँ process यह है:

पहले $x$ पर $g$ लगा
फिर जो result आया, उस पर $f$ लगाया गया

Example 2

मान लें:$$f(x) = x^2$$

$$g(x) = x + 3$$

अब,$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)^2$$

Result

$$(f \circ g)(x) = x^2 + 6x + 9$$

Reverse Order

अब अगर order बदल दें:$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$

तो,$$g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 3$$

Observation

$$(f \circ g)(x) = (x+3)^2$$

लेकिन$$(g \circ f)(x) = x^2 + 3$$

दोनों same नहीं हैं

Important Conclusion

Composition of functions generally commutative नहीं होता

अर्थात,$$f \circ g \ne g \circ f$$

Example 3

मान लें:$$f(x) = 3x – 1$$

$$g(x) = 2x$$

अब,$$(f \circ g)(x) = f(2x) = 3(2x) – 1 = 6x – 1$$

और,$$(g \circ f)(x) = g(3x – 1) = 2(3x – 1) = 6x – 2$$

फिर से दोनों different हैं

Domain and Codomain in Composition

अगर$$g: A \to B$$

और$$f: B \to C$$

तो$$f \circ g : A \to C$$

इसका मतलब composition का final output first function के input set से लेकर last function के output set तक जाता है।

Associative Property

Composition of functions associative होता है$$f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$$

मतलब grouping बदलने से result नहीं बदलता, लेकिन order वही रहना चाहिए।

Example 4

मान लें:$$h(x)=x+1,\quad g(x)=2x,\quad f(x)=x^2$$

पहले:$$g \circ h = g(h(x)) = g(x+1)=2(x+1)=2x+2$$

फिर:$$f \circ (g \circ h)=f(2x+2)=(2x+2)^2$$

अब दूसरी तरफ:$$f \circ g = f(g(x))=f(2x)=(2x)^2=4x^2$$

फिर:$$(f \circ g)\circ h = 4(x+1)^2$$

दोनों same होंगे जब सही substitution किया जाए, इसलिए composition associative होता है।

Identity Function and Composition

अगर $I(x)=x$ identity function है, तो$$f \circ I = I \circ f = f$$

इसका मतलब identity function composition में कोई बदलाव नहीं करता।

Example 5

मान लें:$$f(x)=x+5$$

$$I(x)=x$$

तो,$$f(I(x))=f(x)=x+5$$

और,$$I(f(x))=I(x+5)=x+5$$

Real Understanding

Composition का मतलब simply “function inside function” है।
पहले inner function solve होता है, फिर outer function apply होता है।

इसे समझने के लिए हमेशा यह याद रखो:$$(f \circ g)(x)$$

में पहले $g$ लगेगा, फिर $f$

Final Understanding

Composition of Functions में एक function का output दूसरे function का input बनता है।
यह operation useful है क्योंकि इससे complex mappings को step by step समझा जा सकता है।

यह generally commutative नहीं होता, लेकिन associative होता है।