Introduction (परिचय)

Set Theory में कई बार हमें यह पता करना होता है कि किसी set में कुल कितने elements (अवयव) हैं। इसे ही Number of Elements in a Set कहा जाता है।

यह concept खासकर union, intersection और Venn Diagram से जुड़े questions में बहुत महत्वपूर्ण होता है।

Definition (परिभाषा)

किसी set में उपस्थित कुल elements की संख्या को उस set का cardinality कहते हैं।

इसे n(A) से दर्शाया जाता है।

Representation (प्रदर्शन)

यदि A एक set है, तो उसके elements की संख्या इस प्रकार लिखी जाती है:

n(A)

Example

मान लें:

A = {1, 2, 3, 4}

तो,

n(A) = 4

Concept (समझिए)

Set में जितने अलग-अलग elements होते हैं, वही उसकी संख्या होती है।
Duplicate elements को एक बार ही गिना जाता है।

Example

A = {1, 2, 2, 3}

यहाँ duplicate 2 है, लेकिन set में उसे एक बार ही माना जाएगा

इसलिए,

A = {1, 2, 3}
n(A) = 3

Formula for Two Sets

Concept

जब दो sets दिए हों, तो उनके union के elements की संख्या निकालने के लिए एक महत्वपूर्ण formula होता है:

Formula

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Example

मान लें:

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}

Step by Step

n(A) = 3
n(B) = 3
A ∩ B = {3} → n(A ∩ B) = 1

Apply Formula

n(A ∪ B) = 3 + 3 − 1 = 5

Result

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
n(A ∪ B) = 5

Formula for Three Sets

Concept

जब तीन sets दिए हों, तो formula ये होगा :-

Formula

n(A ∪ B ∪ C) =n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) +n(A ∩ B ∩ C)

Example

मान लें:

n(A) = 10
n(B) = 8
n(C) = 6

n(A ∩ B) = 3
n(B ∩ C) = 2
n(C ∩ A) = 1

n(A ∩ B ∩ C) = 1

Apply Formula

n(A ∪ B ∪ C) =
10 + 8 + 6 − 3 − 2 − 1 + 1 = 19

Understanding

इस formula में common elements को subtract किया जाता है, ताकि उन्हें दो बार count न किया जाए।

Special Cases

1. Disjoint Sets

अगर A और B में कोई common element नहीं है:

A ∩ B = ∅

तो:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

Example

A = {1, 2}
B = {3, 4}

n(A ∪ B) = 2 + 2 = 4

2. Subset Case

अगर A ⊆ B है:

तो:

n(A ∪ B) = n(B)

Final Understanding

Number of elements का concept sets के size को समझने के लिए उपयोग किया जाता है

Union में common elements को एक बार ही गिना जाता है

Formulas का उपयोग करके हम आसानी से elements की संख्या निकाल सकते हैं

Short Answer

किसी set में उपस्थित कुल elements की संख्या को उसकी cardinality कहते हैं और इसे n(A) से दर्शाया जाता है। Union के लिए formula n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) होता है।