Starting Idea (शुरुआती समझ)
Relation पढ़ते समय हमने देखा कि कुछ relations elements के बीच order (क्रम) भी define करते हैं, जैसे “≤”, “divides”, आदि।
जब किसी set के elements को एक विशेष order में arrange किया जा सकता है, तो उसे Ordered Set कहा जाता है।
इस आधार पर दो प्रकार होते हैं:
• Partially Ordered Set (Poset)
• Totally Ordered Set
1. Partially Ordered Set (Poset)
(आंशिक क्रमित समुच्चय)
Basic Meaning
जब किसी set के elements के बीच ऐसा relation हो, जो ordering दिखाए, लेकिन हर pair of elements compare न किया जा सके, तो उसे Partially Ordered Set कहते हैं।
Definition
यदि किसी set A पर relation R defined हो और वह relation:
• Reflexive हो
• Antisymmetric हो
• Transitive हो
तो (A, R) को Partially Ordered Set (Poset) कहते हैं।
Properties Explained
1. Reflexive
हर element अपने आप से related होता है
(a, a) ∈ R
2. Antisymmetric
यदि (a, b) और (b, a) दोनों relation में हों, तो a = b होना चाहिए
3. Transitive
यदि (a, b) और (b, c) relation में हों, तो (a, c) भी होना चाहिए
Example 1
A = {1, 2, 3}
Relation: “≤”
R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3), (2,3) }
Understanding
• 1 ≤ 2, 2 ≤ 3, इसलिए 1 ≤ 3
• हर element खुद से जुड़ा है
• relation valid है
यह Poset है
Example 2 (Important)
A = {2, 3, 6}
Relation: “divides”
Understanding
• 2 divides 6
• 3 divides 6
• लेकिन 2 और 3 आपस में compare नहीं हो सकते
इसलिए यह Partially Ordered Set है
Key Idea
Poset में हर element दूसरे से comparable हो, यह जरूरी नहीं है
2. Totally Ordered Set
(पूर्ण क्रमित समुच्चय)
Basic Meaning
जब set के हर pair of elements को compare किया जा सके, तो उसे Totally Ordered Set कहते हैं।
Definition
यदि Poset में हर pair (a, b) के लिए:
या तो aRb या bRa हो
तो वह Totally Ordered Set कहलाता है।
Example 1
A = {1, 2, 3, 4}
Relation: “≤”
Understanding
• 1 ≤ 2
• 2 ≤ 3
• 3 ≤ 4
हर element दूसरे से compare हो सकता है
इसलिए यह Totally Ordered Set है
Example 2
A = {5, 10, 15}
Relation: “≤”
हर pair comparable है
इसलिए यह भी Totally Ordered Set है
Difference Between Poset and Totally Ordered Set
| Basis | Partially Ordered Set | Totally Ordered Set |
|---|---|---|
| Comparison | हर pair compare नहीं होता | हर pair compare होता है |
| Structure | Partial order | Complete order |
| Example | Divisibility | Numbers with ≤ |
Another Understanding
मान लो:
A = {2, 3, 6}
• 2 और 3 compare नहीं हो सकते → Poset
लेकिन:
A = {1, 2, 3}
• हर pair compare हो सकता है → Totally Ordered
Final Understanding
Partially Ordered Set में कुछ elements comparable होते हैं
Totally Ordered Set में सभी elements comparable होते हैं
Totally Ordered Set, Poset का special case होता है
Short Answer
Partially Ordered Set वह set है जिसमें relation Reflexive, Antisymmetric और Transitive होता है, लेकिन हर pair comparable नहीं होता। Totally Ordered Set वह होता है जिसमें हर pair of elements compare किया जा सकता है।